土壤水流动问题基于降维技术的有限体积元法研究

将特征正交分解技术与经典的数值计算方法相结合应用到偏微分方程的数值研究中，从而把具有数以万计未知量的大型方程组化简为只有很少(预计只有原来百分只有)未知量但有足够高精度的降维方程组，是当前国内外计算物理、计算流体力学和工程界数值研究的热点。目前国内外常用的是将特征正交分解技术结合差分法与有限元法来使用达到将计算模型降维从而提高计算效率的目的。本项目拟在以往工作的基础上，将有限体积元法和特征正交分解技术相结合来发展一种高效率的最优数值计算模式，讨论该降维模式的收敛性和稳定性；并将该数值模式推广应用到二维非饱和、饱和-非饱和土壤水分流动问题的实际模拟计算中，并与传统的有限差分法、有限元法和有限体积元法数值模拟的计算量和计算精度进行比较，以验证该降维模式的有效性和实用性。该项目既有数值计算理论方面的研究，又有实际计算的方法和例子，特别对于地下水位和土壤水动力系统的数值模拟和预测都具有重要的意义。

将经典的数值计算方法与降维技术相结合应用到偏微分方程的数值研究中，从而把具有数以万计未知量的大型方程组化简为只有很少未知量但有足够高精度的降维方程组，是当前国内外计算物理、计算流体力学和工程界数值研究的热点。目前国内外常用的是将降维技术结合差分法与有限元法来使用达到将计算模型降维从而提高计算效率的目的。项目组在以往工作的理论基础上，从典型的抛物线和双曲型方程入手，考虑它们的有限体积元方法的数值解，并讨论该数值解的稳定性、收敛性和误差估计；然后开始考虑降维技术的利用，在本项目的研究中，项目组先是研究了如何将一个三维空间的物理量所满足的微分方程，通过降维技术，转化为一维垂直模态所满足的方程，计算结果显示该降维技术将自由度降为原来的三分之一，计算速度提高了27倍。接着考虑降维技术和有限体积元方法的结合，即用一部分较大特征值对应的特征正交基函数的线性组合代替有限体积元格式中试探函数空间，得到一个以线性组合系数为未知量的代数方程组，即有限体积元格式的降维模式，计算结果显示该降维模式能够确保有足够高精度，且提高了计算效率、减少了计算量。在数值应用研究上，项目组先针对不同边界条件下的非饱和土壤水分流动模型，分别用有限体积元法和混合元方法进行数值离散，并根据实际问题编程计算出相应的有限体积元解和混合有限元解，为进一步的降维基函数的选取做准备；然后项目组针对高维非饱和土壤水分流动模型，设计构造了基于降维技术的有限体积元格式，并将其与特征正交分解降维技术相结合，给出了计算实例，计算结果显示，在保证精度的前提下，自由度大大减少，计算速度得到极大提高；最后项目组又进一步研究了与土壤水分流动模型密切相关的一些问题，比如土壤水中溶质运移问题的研究、土壤的多样性和土壤结构、以及土壤的含水量的取值的非负性等等。该项目既有数值计算理论方面的研究，又有实际计算的方法和例子，特别对于地下水位和土壤水动力系统的数值模拟和预测都具有重要的意义。