解双调和方程的Morley元有限体积法

利用非协调有限体积元法求解二维双调和方程。对求解区域作适当的原始剖分及相应于原始剖分的对偶剖分，相应于原始剖分，取工程中常用的一类非协调元- - 矩形Morley元- - 作为试探函数，相应于对偶剖分，用分片低次多项式作为检验函数，构造计算简单、行之有效的有限体积元格式。通过比较不同对偶剖分方案对解的精度的影响，筛选出最佳的格式。研究这些格式在L^2和离散的H^1、H^2范数下的收敛阶问题，探索有限体积元解的超收敛性问题，并用数值实验验证理论的正确性。通过对定义为单元边中点处的方向导数的自由度的处理，以及为这些自由度设计恰当的对偶单元，为构造非协调元有限体积格式提供新思路。这些结果不仅会进一步完善有限体积元法的理论，而且也将在实际问题中得到很好的应用。

本项目使用有限体积元法数值求解双调和方程。对求解区域做正则的三角形剖分（或矩形剖分），选取工程中常用Morley元作为有限体积元格式的试探函数。我们根据Morley元自由度定义的特点，构造了相应的对偶网格，并选取分片线性函数作为检验函数。基于一种利用原始单元边界上的线积分来定义的变分公式，建立了一种新的数值格式求解双调和方程。通过一个等价模，我们证明了得到的双线性形式的正定性。同时，借鉴了有限元法误差估计的思想，将精确解与数值解的误差分解成逼近误差和相容误差两部分并分别估计，从而得到了格式的收敛性结果。另外，我们还研究了数值解的超收敛性。大量的数值试验表明，我们所构造的新格式简单有效。这些成果达到了我们所预期的研究目标。