非局域非线性系统的孤子激发及其相互作用

With the deepening development of nonlinear physics, nonlinear soliton theory is continuously improved further. The famous KdV, NLS, SG integrable equations etc. are classical mathematical models describing abudant nonlinear phenomena in different fields, and play an important role in explaining various nonlinear excitations. However, they still result from the simplest nonlinear approximations. In order to further discover the physical nature of nonlinear phenomena, it is necessary to build more suitable mathematical physics equations. One of the important factors is to consider the nonlinear behavior associated with the physical properties of not only the local point, but also other locations, which is often simplified and ignored in the lower order approximation. Taking into account the complicated spatial dispersion or nonlocal interactions leads to some nonlocal nonlinear equations, which arise as natural nonlocal generalizations of the classical integrable systems and have nontrivial properties. Therefore, the project focuses on the integrability properites, soliton solutions and their interactions of the nonlocal nonlinear equations generalized from the classical integrable systems. At the same time, we try to make some innovativations on the nonlinear methods of mathematical physics, to establish and develop new ways for more new results.

随着非线性物理研究的不断深入发展，非线性孤立子理论也得以不断完善和深入，著名的KdV、NLS、SG等方程是描述各个学科领域中非线性现象的经典数学模型，在解释各种非线性激发中发挥着重要作用。但是它们都还只是最简单的非线性近似的结果，要进一步挖掘非线性现象的本质，需要构建更适当的数学物理方程。其中一个需要被重点考虑的因素是物理系统的非线性行为不仅与本地物理性质相关，还与其它位置的物理性质相联系，而这种非本地的影响在低级近似中往往被简化忽略了。考虑到复杂的空间色散或非本地的相互作用会导致非局域非线性模型的建立，它们通常会是经典可积系统的各种非局域推广，具有的性质和局域系统之间有着非平庸的关系。因此，本项目以与经典可积系统相关的非局域非线性系统为重点研究对象，研究这类非局域非线性方程的可积性质、孤子解及其相互作用等等；同时争取在非线性数学物理方法上有所创新，建立和发展新方法，获得更多的新结果。

当物理系统的非线性行为不仅与本地物理性质相关，还与其它位置的物理性质相联系时，这种非本地的影响就不能在低级近似中被简化忽略，这时就需要构建更适当的数学物理模型。考虑到非本地的相互作用会导致非局域非线性模型的建立，它们通常会是经典可积系统的各种非局域推广，会和局域可积系统之间有着非平庸的关系。本项目以与经典可积系统相关的非局域非线性系统为重点研究对象，研究它们的可积性质、孤子解及其相互作用等等。我们首先从多涡相互作用的流体力学模型，考虑到不同时刻不同地点事件的相互作用，推导建立了一类含有空间平移和时间延迟反转性的非局域修正KdV方程，得到其周期波、扭结波、孤立波、扭结-周期波和反扭结-周期波相互作用解等，并进一步给出了原系统的一类特殊的近似解，该解从理论上刻画出了两个时空相关的偶极子阻塞事件处于成熟期的显著特征。在此基础上，又推导得到了一类新的非局域非线性薛定谔型方程，对该方程做了调制不稳定性分析，揭示了由广义色散关系(调制扰动波的频率和波数)所引起的一系列可能的MI区域，得到了由多种Jacobi椭圆函数表示的精确周期解，在模取1的极限下，可以退化到孤子解、扭结解及其线性叠加波解。虽然这两个非局域非线性系统的解均很好地刻画了多种大气阻塞的成熟期，但是无法描述大气阻塞的生命周期现象。为此，我们又进一步推导建立了一类新的时间变系数的含有空间平移性的非局域非线性KdV型方程，实现了时间因子对波振幅的影响，由此成功描述了两地相关联的具有生命周期的大气阻塞事件。此外，我们也研究了局域非线性系统的各种非线性激发，特别是发现了高维系统中的dromion型孤子分子激发及其丰富的动力学行为。