拟双曲几何及相关研究

本项目主要研究以下两个方面的内容。（一）Banach空间上的 CQH映射：作为拟共形映射在无穷维空间上的推广，Vaisala利用拟双曲度量定义了Banach空间上的CQH映射，并指出了一些存在的问题。我们研究其中两个基本问题：一是复平面上的著名Gehring-Hayman不等式是否在Banach空间中成立？我们计划利用近似短程线代替短程线、拟双曲度量代替双曲度量来展开讨论；作为所得结果的应用，将讨论分别由Heinenon和Rohde 于1993年以及Gehring、Hag和Martio于1989年提出的猜测；另一个是把近似短线映射为solid弧是否是CQH映射的特征？这些问题的解决将为CQH映射的研究提供一种工具。（二）调和映射，包括单复变和多复变两种情形：主要研究单复变p-调和映射的一些相关性质以及多复变p-调和拟正则映射Landau-Bloch常数的存在性等。此研究具有重要的理论意义。

此项目研究期间，我们按原计划展开了对Klein 群、拟双曲几何、拟共形映射、调和映射等的研究，得到了系列结果，其中肯定回答公开问题和猜测3个，在SCIE刊物发表（标注本项目资助）论文40篇。具体如下：(一) 作为前一个项目资助期间所得离散准则的应用，建立了新的Klein群收敛性定理；利用检测元素，得到新的离散性准则，并肯定解决公开问题一个；通过估计元素之间的模，得到基本群是挠一致有界的复双曲分支流形的体积下界；同时，研究了高维复双曲空间上的Jorgensen不等式, 并得到了相关流形上的Collar定理。（二）建立了实线性赋范空间中构造单连通一致域和John域的方法，作为应用，首先刻画了实线性赋范空间中一致域和John域；其次得到了一致域在CQH映射下还是一致域与此映射的边界可延拓性的关系；还完成了Banach空间中的一致域是否具有拟不变性的讨论；这些结果中包括对两个公开问题的肯定回答。同时，还建立了G-H不等式，并证明了把近似短程线映射为solid弧是CQH映射的特征。（三）讨论了平面（双、p-、多变量）调和映射的相关性质；同时还完成调和映射和偏微分方程交叉的部分研究；等等。