关于正规族、模分布和辐角分布的若干新研究

Value distribution theory of meromorphic functions is an important research topic in the complex analysis, complex dynamics theory is an extremely popular research field in the modern study of mathematics, whereas for basic conceptions in studying complex dynamics theory, Julia set and Fatou set are really introduced by the normal family of value distribution theory. Therefore, studying value distribution theory of meromorphic functions is not only of great importance in theory but also of better prospect in use. This project is to focus on three main aspects in the theory of value distribution: normal familes, modular distributions and angular distributions of meromorphic functions. In this project we will emphasize the problems of normal families of meromorphic funcions concerning shared functions and shared sets, the problems of modular distributions of meromorphic functions concerning a series of Hayman's conjectures and differential polynomials, and the problems of angular distributions of meromorphic functions concerning radially distributed values and growth orders. On the basis of this as some applications we will also study the problems of the uniqueness of entire and meromorphic functions in the complex plane or the angular domain, complex difference operators, complex differential equations, complex functional equations and related problems. Several more interesting results will be obtained in the process of this project, some of which are of much value in theory and in use.

亚纯函数值分布理论是复分析里的一个重要研究课题，复动力系统是当今数学研究中的一个非常热门的研究领域，而研究复动力系统的基本概念Julia 集与Fatou集就是由值分布理论中的正规族引出的。因此，研究亚纯函数值分布理论不仅有重要的理论意义，还有很好的应用前景。本项目拟重点研究亚纯函数值分布理论的三个主要方面：亚纯函数正规族、模分布和辐角分布。着重研究与分担函数和分担集相关的亚纯函数正规族问题；与Hayman系列猜想和微分多项式相关的亚纯函数模分布问题；与径向分布值和增长级相关的亚纯函数辐角分布问题。在此基础上，作为一些应用本项目还将研究复平面上或者角域里的整函数和亚纯函数的唯一性问题、复差分算子、复微分方程以及复函数方程等相关问题。通过该项目的研究将会取得若干比较有意义的成果，其中一些研究工作具有重要的理论和应用价值。

本项目研究亚纯函数正规族、模分布和辐角分布及其相关课题。从2014年1月至2016年12月，本项目组成员共正式发表学术论文12篇（其中2篇SCI收录）。另外有被录用学术论文3篇（其中2篇SCI收录），以及有正在审稿中的学术论文3篇。我们获得的主要研究成果如下：1.研究了非常数整函数与其一阶导函数如果IM分担两个小函数对，则它们存在一个密切的线性关系。2.研究了涉及Hayman猜想的角域里具有两个径向分布值的超越亚纯函数的增长性。3.研究了非常数整函数与其微分多项式分担一个有限非零复数的唯一性，证明中使用了正规族理论。4.研究了一类不取零的亚纯函数族涉及微分多项式的正规定则，所获得的定理深化了Hayman猜想相关的结果。同时，例子表明定理是精确的。5.研究了不为零亚纯函数族中的每对函数的高阶导函数分担一个不恒为零的全纯函数的正规定则。6.用差分对数导数引理研究了周期亚纯函数分担2CM和1IM的唯一性，作为应用得到一类椭圆函数的唯一性定理。例子说明定理中的所有条件是精确的必要的。这些研究成果对将来的研究具有重要的借鉴意义和参考价值。