在应用问题中的一个非线性矩阵方程的数值算法及可解性研究

Nonlinear matrix equations are widely used in various fields of science and engineering. In different applications, the coefficient matrix has different special structures, properties and sparsity. This project researches on one nonlinear matrix equation in some application problems such as the transfer matrix in infinite element method, the Green function in nano research and the palindromic quadratic eigenvalue problem in high-speed train vibration. We will use some theories, methods and techniques like numerical analysis, matrix theory, matrix decomposition, fast algorithm of structure matrix. We want to design the numerical method with efficient, high precision and stability. On this basis, we discuss the structure and properties of the stable solution. Then we will study the solution of the more complex nonlinear matrix equation and its numerical solution.

非线性矩阵方程广泛应用于科学和工程各个领域，在不同的应用问题中，其系数矩阵具有不同的特殊结构、性质和稀疏性。本项目主要对以无限元方法中转移矩阵的计算问题、纳米研究中 Green 函数的计算问题以及高速列车振动中回文二次特征值的计算问题为应用背景的一类非线性矩阵方程进行研究，运用数值分析、矩阵理论、矩阵分解以及结构矩阵的快速算法等理论、方法和技术，充分挖掘和利用不同应用问题中非线性矩阵方程的系数矩阵的不同结构、性质和稀疏性，科学地设计高效、高精度、稳定的数值算法。在此基础上，我们对这些应用问题所需的稳定解的结构与性质进行探讨，继而研究结构更加复杂的非线性矩阵方程的解及其数值解法。

项目背景：数学与交叉学科的研究，疫情状态下大数据的应用。.主要研究内容：1.Navier-Stokes方程在含有非线性项时解析解的性质。2.谱聚类方法及其在大数据、机器学习中的应用。.重要结果：1.在Navier-Stokes方程方面，项目组成员对方程含有非线性项的情况进行了深入研究和探讨。发现其对应的解析解在大时间范围内有很好的性质。主要体现在稳定性和有界性等方面，其中上下界只取决于初始数据和时间。在某些特殊情况下，上下界会变成与时间无关，这意味着解析解从局部稳定可以扩充为全局稳定。这样的发现，对于磁流体力学的研究有着重要意义。在磁流体力学中，很多问题涉及到含有非线性项的Navier-Stokes方程，我们现在从理论上明确了其解的存在性、稳定性和有界性，对于将来进行数值求解有指导作用。另外，Navier-Stokes方程与很多工程应用问题有着巨大的交集，例如飞机制造中的极波问题、桥梁建设中的涡流问题等等。2.在谱聚类方法方面，项目组成员对图像识别进行了深入研究和学习。疫情的常态化，让社会认识到在公共场合佩戴口罩的重要性。佩戴口罩不仅是为了保护自己，更是为社会贡献自己的微薄之力。但佩戴口罩也给我们的生活带来了一些不便，其中最为明显的一点是面部识别。当我们使用手机面部解锁功能、刷脸支付账单以及乘坐高铁过安检时，不得不摘下口罩进行面部识别。这既浪费时间又给我们的个人安全带来了隐患。我们通过一段时间的学习，应用谱聚类方法完成了更为精确和快速的面部识别过程。尤其是在面部有口罩等遮挡物存在的时候，我们的研究成果发挥着重要作用。.