地下水污染中的若干重要反问题的研究

With the development of economy, the contradiction between supply and demand of water becomes more and more critical. The deterioration of water environment is very serious, the study of pollution control has become very urgent. But field data show anomalous diffusion in groundwater contamination which can not be intrepreted by the classical convection-diffusion equation. This project plans to study the inverse source problem and coefficient inverse problem based on fractional equation. We'll study three kinds of the inverse problem of fracrional equation (inverse source problem, a backward time-fractional diffusion problem, and the coefficient inverse problem ), and the posedness and algorithm will be discussed. With limited additional data, the uniqueness and conditional stability will be presented. Also, efficient algorithm of reconstruction of the solution of inverse problem will be given and convergence analysis will be discussed. Based on numerical simulation, the algorithm will be tested and used in real application.

随着社会经济的发展，水的供需矛盾日益突出，水环境的恶化已极为严重，对污染控制的理论与方法的研究变得极为迫切。而基于经典扩散方程的模型被发现和实际情况不符，本项目就是计划在分数阶方程模型的基础上，研究地下水污染的污染源与模型参数反演问题。我们主要研究分数阶方程的三类反问题（源项反演，初始场反演，以及模型参数反演）的适定性分析及算法研究。理论上，在有限附加信息的情况下，给出反问题的解的唯一性和条件稳定性结果；算法上，我们给出高效的解的重构算法，并给出相关算法的解的收敛性估计。通过数值模拟确认算法的有效性，并结合实际数据验证算法，为解决实际问题做出贡献。

本项目的主要研究内容是污染源和模型参数反演问题。这里面一个重要的难点是污染源的位置常常远离观测点的位置，问题的本质就是如何从可以观测到的信息反演无法或者很难观测到的位置处的信息。从数学物理方程的角度来看，就是一个唯一连续性的问题（unique continuation）。唯一延拓性问题是一个数学和应用数学领域广泛关注的问题。.在项目执行期间，我们取得一些有一定影响的研究成果：.1、成果1是针对各向异性的弹性力学方程组，在2维情况下，我们证明，根据一个分量的部分观测数据，可以唯一决定弹性力学方程组的“大部分”整体解。这些整体解仅仅含有若干个可以适当选取的参数。.2、成果3是针对发展型方程（包括双曲型方程和抛物型方程）的反源问题，我们利用Carleman估计的方法，给出了一种相对于已有的证明方法简单很多的一般性研究方法，证明了这类反源问题具有Holder型的条件稳定性。为构建稳定的数值算法提供了理论上的保证。.3、成果7是讨论一维分数阶微分方程的唯一连续性。通常认为对于分数阶扩散方程，为已连续性应该是与整数阶扩散方程一致的，但是一直没有给出证明。成果7是首次给出了严格的数学证明。.本项目的研究成果大部分属于理论结果。基于这些理论结果，可以构造一些稳定的算法，并且这些算法可以用来解决一些重要的实际问题，如确定污染源的反源问题。