两类临界情况的奇摄动系统近似解析解研究及精度分析

Research of approximate analytical solution and precision analysis for singularly pertubed systems in the critical cases is one the difficulty of singular pertubation researches. With the development of science and technology, scientific researches in many fields, such as the chemical reaction kinetics problems, semiconductor device simulation, planetary orbits，solid mechanics, electrodynamics，engineering, hydrodynamic models, often meet with difficulties arising out of critical cases. It brings a lot of inconveniences and troubles in our work and research. . This project is aimed at studying two kinds of singularly perturbed systems in the critical cases, high dimensional cases and delayed cases. By applying the boundary layer functions as the main research tool, and combined with numerical methods, diagonalization technique and phase plane geometry analysis, we firstly construct approximate solution of the original problems. Then using the multiple variables sewing method and high dimensional heteroclinic or homoclinic orbit, the equations of the parameters are obtained. Thus by means of implicit function theorem, successive approximation，fixed point theorem theory and other methods, we get the existence of the solution and the uniformly validity of the asymptotic solutions to the exact solution. Since the approximate solution is analytical, which can be used in analytic calculation and get the asymptotic behaviors of deeper quantities of variables. It will provide reliable theory basis and new ideas for promoting the singularly perturbed systems researches.

临界情况的奇摄动问题研究是奇摄动研究的难点之一。随着科学技术的发展，科学研究的诸多领域，例如化学反应动力学问题﹑半导体器件模拟﹑行星运行轨迹问题、固体力学问题、电动力学问题、土木工程问题﹑流体力学模型等等，常常会碰到临界情况的奇摄动问题的困难，因此会给我们的工作和研究带来很多不便和麻烦。. 本项目针对两类临界情况下的奇摄动问题，分别对“高维”奇摄动系统和“时滞”奇摄动系统进行研究。通过利用边界层函数法作为主要的研究工具，辅以对角化技巧和相平面几何分析构造原问题的形式渐近解，再运用缝接法，结合高维相空间同（异）宿轨道等方法得到确定参数的方程，并通过运用隐函数定理﹑逐次逼近及不动点定理等方法，得到了原问题解的存在性及误差估计。由于所得的近似解是解析的，因此还可以进行解析运算，从而得到更深层次的变量的性质。为进一步推进奇摄动系统的研究提供可靠理论依据和新的思路。

本项目针对临界情况的奇摄动系统，着重对 “高维情形”和 “时滞情形”这两类的奇摄动问题进行研究。通过利用边界层函数法作为主要的研究工具，辅以对角化技巧和相平面几何分析构造原问题的形式渐近解，再运用缝接法，结合高维相空间同（异）宿轨道等方法得到确定参数的方程，并通过运用隐函数定理﹑逐次逼近及不动点定理等方法，得到了原问题解的存在性及误差估计。由于所得的近似解是解析的，因此还可以进行解析运算，从而得到更深层次的变量的性质。为进一步推进奇摄动系统的研究提供可靠理论依据。研究结果也体现其方法的优点，即可得到定量分析方面和近似定性分析方面的结果；还可保证对应于小参数和扰动情形下的系统能够较快地求得所要求精度范围内的近似解析解，故所得的结果更加简便、实用、可靠。从而为进一步推进奇摄动系统的研究提供可靠理论依据和新的思路。本项目资助发表学术论文10篇，其中SCIE论文6篇。项目投入经费22万元，支出21.8396万元，各项支出基本与预算相符。剩余经费0.1604万元，剩余经费计划用于本项目研究后续支出。