时间相关微分方程的高性能并行数值方法研究

With the rapid development of multi-core computers, parallel computing has been a very important part in the area of scientific computing. It has been an interesting problem for researchers to make full use of current computing devices, to obtain numerical solutions of high accuracy of the original problem, with as little running time as possible. In this project, we will consider two kinds of time-dependent differential equations, construct time-parallel numerical methods with high accuracy respectively, and take some theoretical analysis, numerical experiments and performance optimization. The content includes two parts: (1) we consider parabolic partial differential equations, and combine the multi-grid methods and parareal spectral deferred correction, to achieve very high accuracy; analyze the errors of multi-grid and parareal iteration, and deduce the convergence rate of the new algorithm recursively; adjust the density and the level of the space grid, to roughly balance the error by space discritization and that by parareal. (2) we consider hyperbolic partial differential equations, take proper geometric numerical integration as the coarse and fine propagators, and propose a kind of stable parareal methods. We will investigate the behaviors of the method, and the preservation of the energy. Furthermore, we will try to look for some a special deferred correction method which can preserve the symplecticity, and construct parareal spectral deferred correction method for hyperbolic equations.

随着多处理器计算机的快速发展，并行计算已经成为科学计算的重要组成部分。利用现有的计算条件，在较短的时间内得到原问题非常精确的逼近解是科学计算工作者们非常感兴趣的问题。本项目考虑两类时间相关微分方程，分别构造能在时间方向并行的高精度算法，对算法进行理论分析、数值试验以及性能优化。主要内容包括：(1) 考虑抛物型偏微分方程，将多重网格方法嵌入到parareal谱延迟校正算法的框架中，构造一种高精度的时间并行算法。分别估计多重网格以及parareal迭代的误差，通过误差递推累积推导新型算法的收敛速度。灵活调整空间网格的密度和重数，使得时间和空间网格上离散误差大致相等。(2) 考虑双曲型偏微分方程，选取适当的几何数值积分作为粗细算子，构造保能量的parareal方法。寻找保辛结构的延迟校正方法，将其融入到稳定化的parareal方法中，构造适用于双曲型方程的parareal谱延迟校正方法。

本项目针对时间相关微分方程，分别从高精度算法和时间并行算法两个角度进行求解。首先，本项目在最优的二次样条配置法的基础上引入延迟校正的策略，形成一种在时空两个方向都具有高阶收敛精度的QSC-DC算法，其中我们给了一种生成相邻问题的微分矩阵的简单方法，使得QSC-DC算法的计算量关于迭代次数呈现线性关系。其次，本项目将延迟校正方法引入parareal方法中，构造了一种在时间方向可并行的高精度算法；我们分析了算法的收敛性和稳定性；通过并行程序，我们展示这种PDC方法相对于传统的parareal方法的优势。随后，我们结合最优的双二次样条配置法和谱延迟校正法，用于求解二维抛物型方程，讨论了算法的稳定性，通过数值算例证实了算法的高精度。为了进一步降低这种高精度算法在求解高维问题的计算量，我们将交替方向法引入到最优的二次样条配置法中，形成了一种QSC-ADI方法，这种方法在每个时间步上的计算量都是最优的，同时算法仍然保持空间四阶精度；我们分析了这种方法的稳定性，并通过数值算例验证了该方法的收敛阶。最后，我们考虑空间双侧分数阶偏微分方程，取二次样条函数作为近似空间的基函数，通过配置过程得到分数阶微分方程的一组数值解；我们分析了这种方法的收敛性和稳定性，给出了严格的收敛阶，高于标准的G-L方法的精度；通过数值算例证实了算法的收敛阶。