双曲几何与粗几何Novikov猜测

我们利用代数、分析和拓扑等工具来研究粗几何Novikov猜想，研究内容涉及算子代数、指标理论、粗几何以及几何群论等。我们拟对如下几类问题进行研究：设X是具有有界几何的真性度量空间，如果它相对于算子范数局部化性质具有有限分解复杂度，则X本身也具有算子范数局部化性质，由此证明具有该性质的有限生成群，它的盒空间上的粗几何Novikov猜想成立；对于相对双曲群的粗嵌入问题，即设（G，H）为相对双曲群，如果H能够粗嵌入到某个一致凸Banach空间，那么G也能粗嵌入到一致凸Banach空间中；同样如果H是弱顺从的，则G也是弱顺从的，从而从粗嵌入和弱顺从的角度导出相应群上粗几何Novikov猜测。

在项目的资助期间，得到了如下的结果：. 1. 粗几何性质在有限分解复杂度下的保持性。. 有限分解复杂度是E. Guenter、R. Tessera与郁国梁提出的一种描述几何空间的复杂性的概念，通过对此性质的研究他们证明了具有有限分解复杂度的集合空间，其上的稳定Borel猜测是成立的。但是那些几何空间具有有限分解复杂度，它们与算子范数局部化性质、度量稀疏化性质、性质A以及粗嵌入之间的关系是什么？由此，我们通过对群的研究得到了如下的结果：. （1）算子范数局部化性质在有限分解复杂度的意义下是保持的。 （2）度量稀疏化性质在有限分解复杂度的意义下也是保持的。. （3）具有类似于性质A，Aub也是在有限分解复杂度意义下是保持的。 2. 双曲群上的光华子代数的研. 众所周知群上的群代数与它的谱不变的稠密子代数的K-群是同构的，由此可以通过计算稠密子代数上的K群完成群代数K-群的计算。然而对于空间上的一致Roe代数、Roe代数，怎样找出它的谱不变的稠密子代数，成为一个公开问题。对于这个问题的研究我们回答了如下问题：. （1）群的H-Content具有次指数增长或多项式增长，那么一致Roe代数中的元素可以带状逼近。 （2）找出了一类群的一致Roe代数中的光滑子代数。. 3. 纤维化粗嵌入到Hilbert空间. 最近，陈晓漫、王勤、郁国梁提出了纤维化粗嵌入到Hilbert空间的概念，并且指出一个具有有界几何的离散空间，如果它可以纤维化的粗嵌入到Hilbert空间中，则其上的Coarse Baum-Connes猜想成立。对于纤维化的粗嵌入到Hibert空间的刻画，我们的到了：. （1）如果一个度量空间X是一列有界集X_n的无交并，并且它有一列渐进忠实的Galois覆盖Y_n，如果Y_n可以等度的粗嵌入到一个度量空间Z中，则X可以纤维化的粗嵌入到Z中。. （2）设G是一个有限剩余的群，则G具有A-T-menable性质，当且仅当它的Box空间可以纤维化的粗嵌入到Hilbert空间中。