抛物型方程组的不同时奇性解及其弱延拓

The non-simultaneous singular solutions and their weak extension after the occurring of the singularity are important parts for the parabolic equations, which are worth being studied in both pure and applied mathematics. This project will mainly deal with the multi-components parabolic equations and the parabolic problems involved non-standard growth conditions. Firstly, we study the optimal criteria for the existence and nonexistence of non-simultaneous singular solutions, described by the constant or variable exponents, i.e., critical exponents for non-simultaneous singular solutions. Secondly, we study the asymptotic behavior of the singular solutions. Especially, we will build the relationship between the asymptotic properties for the multi-components of singular solutions and the singular mechanism, including the non-standard growth conditions, the coupled relationships, and the properties of initial data, etc. At last, the weak extension of singular solutions will be considered, including the complete or incomplete blowup, complete or incomplete quenching, and thermal avalanche formation. The study in the project is helpful to recognize the nonlinear phenomena and the experiments in physics, chemistry and biology, and also to reveal the mechanism among the different nonlinearities.

抛物型方程组的不同时奇性解及其在奇性发生后的弱延拓性质是解的奇性产生和传播规律中的重要研究内容，有着重要的理论意义和应用价值。本项目研究解含多个分量的抛物型方程组及具有非标准增长条件的抛物问题，具体包括：1.通过确定常数、函数型指标参数与不同时奇性临界指标的准确定量关系，给出奇性解各分量的完全分类；2.研究奇性解各分量渐近性质，特别是对于具有非标准增长条件的多分量抛物方程组，研究不同时奇性解的渐近性质与非标准增长条件、耦合机理、初值性质的依赖关系等若干新问题；3.研究解在奇性发生后的blowup、quenching是否完全，以及"热雪崩"结构等弱延拓性质。该项目的研究有助于从理论上解释和认识物理、化学、生物学中的非线性现象和实验结果，揭示非线性项之间的相互作用机理。

非线性抛物型方程组问题能够充分地考虑到时间和空间的影响、准确地反映相关非线性现象的本质和变化规律，因而在物理、化学、生物学中有着广泛的应用。另外，具有非标准增长条件的抛物问题在非线性弹性力学、非牛顿流体模型、图像恢复模型、电流变液及热敏电阻问题的研究中也有着重要的研究价值。在项目执行期间，项目组成员密切合作，圆满完成项目任务书中的研究内容和研究目标以及人才培养等任务。研究内容围绕抛物型方程组的不同时奇性解及其在奇性发生后的解的弱延拓性质展开。模型包括具有常数指标或函数指标的单个抛物型方程问题、两分量抛物型方程组问题和多分量抛物型方程组问题。使用常数、函数型指标参数，并借助初值及区域假设条件，给出不同时奇性临界指标的刻画，对于两分量问题给出奇性现象的完全分类；在此基础上，讨论了奇性解各分量渐近性质，特别是对于多分量抛物问题，得到不同时奇性解的渐近性与非标准增长条件、初值性质、分量位置、耦合机理的依赖关系等若干性质；对于两分量问题，在取得指标完全分类的前提下，研究了blowup是否完全问题以及“热雪崩”结构等解的弱延拓性质。发表和接受科研论文13篇，其中SCI论文5篇（含J. Differential Equations一篇）、数学核心期刊论文7篇，韩国数学会办数学期刊论文1篇。项目组中有三名硕士研究生完成学业，并获得硕士学位，另有五名在读硕士生正围绕课题进行学习和科研。