椭圆与抛物方程解的边界正则性对区域边界的依赖性

本项目将研究椭圆与抛物方程解在区域边界的正则性对区域边界几何性质的依赖性。项目的研究内容主要有三个方面:(1)Neumann边界问题、高阶方程以及方程组的Wiener判别准则；(2)在边界具有分形维数的区域上，椭圆与抛物方程（组）解在边界的W^{1,p}估计；(3)广义凸区域上椭圆与抛物方程解在边界的可微性。这三个方面的关键问题分别是:(1)何种边界几何性质使得解或解的导数连续到边界；(2)使得W^{1,p}估计成立所需区域边界几何性质的本质条件是什麽；(3) 何种边界几何性质是使得解在边界可微所需区域边界几何性质的充分必要条件。项目的研究目标为：不仅要解决上述问题，而且要系统地给出相应的理论并提出和发展一套新的研究正则性的方法。这些理论和方法将在自由边界问题、反问题、渗流问题以及工程中的几何设计和最优控制等方面有着广泛的应用。我们已取得的研究成果为本项目的研究打下了一个坚实的基础。

本项目研究了椭圆与抛物方程的边界正则性理论，较为圆满地完成了项目申请时所制定的研究计划，主要解决了以下四个方面的问题：1、针对椭圆方程解在边界的可微性，引入 “gamma-凸区域”的几何概念，证明了“gamma-凸区域”上椭圆方程的解在边界是可微的。这一结果具有两方面的最优性：（1）“gamma-凸区域”上方程解在边界的最佳正则性为可微；（2）保证解在边界的可微性的区域一定是“gamma-凸区域”。2、给出了一类四阶椭圆型方程组解的W^{2,p}估计，在这里，椭圆方程组的系数在穿过一个Reifenberg型拓扑曲面时具有间断性。3、证明了Stokes方程解的HessianL^p内估计。对于内估计而言，这是最佳的结果，即解对时间导数的L^p内估计一般不成立。4、推广了Caffarelli关于完全非线性椭圆方程解的W^{2,p}估计。给出固定系数方程所需的正则性条件和逼近条件之间的关系，Caffarelli的结果是这一关系的特例。在本项目的支持下，目前共发表学术论文12篇（均被SCI检索）。项目各项经费使用基本符合项目申请时所制定的经费预算。