二层平衡问题的适定性与算法研究

Bilevel equilibrium problem is one of the frontier subjects in the fields of operations research and optimization. This project aims to deeply study well-posedness, numerical algorithms and related applications of bilevel equilibrium problem, its contents mainly include the following aspects: (1) Some new sufficient and necessary conditions for solutions and gap function of bilevel equilibrium problem and its lower-level problem are established by using the nonlinear analysis, advanced variational analysis as well as image space analysis, and then, we introduce some new conceptions of well-posedness of bilevel equilibrium problem, characterize the sufficient and necessary conditions and metric properties of these well-posedness, and analyze the stability of bilevel equilibrium problem; (2) We discuss some new ways for reformulating bilevel equilibrium problem into tractable one-level optimization problem, construct some new penalized problems, and analyze the exactness of the penalty function and the relationships between the bilevel equilibrium problem and its penalized problem. Finally, penalty function algorithm and its convergence are suggested; (3) Bilevel equilibrium problem model describing the incentive mechanism of the behaviors of enterprises participating in eco-industrial chain and its efficient algorithm are constructed, and moreover, the rationality and validity of the model are verified by using the numerical experiments. Therefore, the results of this project will not only enrich and develop the theory and methods of bilevel equilibrium problems but also provide the theory basis for making-decision of eco-industrial chain management and enterprises.

二层平衡问题是运筹与优化研究领域的前沿课题之一。本项目旨在对二层平衡问题的适定性、算法及应用展开深入研究，主要研究内容为：(1)采用非线性分析，现代变分分析以及像空间分析的方法研究二层平衡问题及其下层平衡问题解的新的若干充分和必要条件以及间隙函数，引入二层平衡问题的新的适定性概念，刻画适定性的充要条件与度量性质，通过适定性分析二层平衡问题的稳定性；(2)探讨二层平衡问题转化为易处理的单层优化问题的新方法，构造二层平衡问题的若干新罚问题，研究罚问题与原问题之间的关系以及罚函数的精确性，并分析其收敛性；(3)建立管理机构对企业参与生态产业链行为的激励机制的二层平衡问题模型，设计出有效的求解算法，并通过数值实验验证模型的合理性和有效性。本课题的研究不仅可以丰富和发展二层平衡问题的理论与方法，也为生态产业链管理机构与企业制定相关决策提供理论依据。

平衡问题是运筹与优化研究领域的重要内容之一。平衡问题为优化问题、变分不等式、鞍点问题以及不动点问题提供了统一的理论框架，并广泛地应用于交通网络与工程管理等领域的大量实际问题。在客观世界的规划、管理与控制中，存在大量具有层次性的决策系统问题，比如，生态产业链、资源配置、交通调度与企业管理等问题。层次决策系统问题可分为具有嵌套结构的层次问题与不具嵌套结构的层次问题。其中，嵌套结构是指在多个决策参与者的决策系统中，决策者都有各自的决策变量、决策目标和约束条件，并且上层的决策者通过自己的决策变量来影响下层决策者的决策，但不能干涉、更不能完全控制下层决策者的决策。同时，下层决策者根据上层既定的策略，在自己可能的范围内做出理性的决策，并将其反馈给上层决策者，从而影响上层决策者的最后决策。在层次决策系统中，二层系统最为典型，因为实际的决策系统大都可以看成二层决策系统。故对二层平衡问题及其相关层次问题进行研究是十分必要且有意义的。本项目旨在对二层平衡问题及相关问题的适定性、最优性条件、稳定性、算法及应用展开深入研究，主要研究内容为：平衡问题、向量变分不等式等的适定性、最优性条件、间隙函数、稳定性与算法；探讨二层平衡问题与二层优化问题的最优性条件，以及其转化为易处理的单层优化问题的新方法，构造二层平衡问题的新罚问题，研究新罚问题与原问题之间的关系以及罚函数的精确性以及算法的有限终止性等收敛性结果；基于变分不等式与二层优化理论，对企业参与生态产业链行为的激励机制的二层优化问题模型与逆变分不等式模型，探讨了相应模型的最优性条件以及有效的求解算法，并通过数值实验验证模型的合理性和有效性。本课题的研究丰富和发展了二层平衡问题的理论与方法，也为生态产业链管理机构制定相关决策提供理论依据。