数论中某些动力系统的常返性研究

常返性研究是动力系统领域的主要问题之一。我们主要研究与数论相关的连分数动力系统和p进动力系统的常返性。对于连分数动力系统，我们考察对于给定的函数的Birkhoff 遍历平均的水平集，并研究水平集关于水平变化的Hausdorff维数谱。这个问题对于紧连续动力系统已经完整解决。对于连分数系统则复杂得多。我们希望利用Ruelle算子理论等技巧，从某些特殊函数到一般分段连续函数，建立起连分数动力系统上的维数谱。 对于p进动力系统，我们考察它的混沌性和极小性。人们已经给出了一些具有混沌性的多项式变换的例子，我们计划拓展这些例子并希望能给出具有混沌性质的多项式的基本特征。对于极小性， p进数域上的整系数仿射变换的极小分解已经解决，我们希望把这个结果推广到一般的p进数域的有限扩张上去。此外我们还准备研究分式变换，以及在一个可迁子集中同时具有扩张和收缩点的多项式变换。

本项目主要研究与数论相关的连分数动力系统，p进动力系统，贝塔展式动力系统等动力系统的常返性。常返性研究是动力系统领域的研究热点。与数论相关的动力系统理论与遍历理论方面已经有陶哲轩和Elon Lindestrauss两个菲尔兹奖获得者。此方面的研究吸引了很多优秀数学工作者。对于连分数动力系统，我们给出了给定连分数字符的频率的水平集的Hausdorff维数。这项工作解决了Billingsley等人之前未能完成的一个重要问题，文章发表在《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》上。基于此项工作，我们研究了对于一般的给定函数的Birkhoff 遍历平均以及遍历平均之比的水平集，得到了相应的Hausdorff维数谱，并有两篇已投稿论文。我们也得到了在一般无穷多个字符的符号动力系统上的相应问题的结果（发表在《Nonlinearity》上）。 对于p进动力系统，我们考察了一般p进整系数多项式动力系统的极小性，给出了p为2时二次多项式的完整的极小分解。我们的研究成果发表在《Advances in Mathematics》。我们研究了一般系数的p进多项式动力系统的混沌性极小性，p进数域的有限扩张的整系数多项式动力系统的极小分解，p进射影直线上的分式动力系统的极小分解等问题，并有三篇论文正在撰写中。除了连分数和p进动力系统外，我们也研究了符号动力系统中多重遍历平均的水平集的Hausdorff维数谱问题，主要研究成果发表在《Monatshefte fur Mathematik》上，并有两篇已投搞文章。此外我们证明了负贝塔展式动力系统是局部最终到上的，正合的（发表在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》上）。另外，关于单位区间上的Markov映射的丢翻图性质的文章也即将发表在发表在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》上。我们的研究成果涉及到与数论相关的各种动力系统。解决了某些国际上遗留下来的难题。这些成果也将对相应的研究富有启发意义。