光滑度量测度空间上的Kaimanovich熵与几何刚性研究

Geometric rigidity is an important and difficulty problem in Riemannian geometry. The research project mainly study the geometric rigidity problem by using of some of geometric invariants, such as Kaimanovich entropy and volume entropy etc. The research methods include gradient and heat kernel estimtes in geometric analysis, Cheeger-Colding theory, Martin boundary theory and optimal transport theory in non-smooth geometry, then reveals geometric structure in Riemannian geometry and smooth metric measure space.

几何刚性问题是黎曼几何中重要而且困难的问题，本项目主要利用Kaimanovich熵、体积熵等几何不变量来研究几何刚性问题，研究方法包括几何分析中的梯度与热核估计，Ricci曲率的Cheeger-Colding理论，Martin边界理论以及最近非光滑几何中的最优传输理论等，进而揭示黎曼流形或光滑度量测度空间的几何结构。

几何刚性是黎曼几何中重要而且困难的问题, 本项目主要研究(光滑和非光滑)度量测度空间上(线性和非线性)扩散算子相关的Kaimanovich熵，以此为工具结合几何分析，最优传输以及Cheeger-Colding理论来得到几何刚性，进而揭示空间的几何结构。具体研究内容与结果如下:1)与人合作研究光滑度量测度空间上Witten Laplacian算子的Kaimanovich熵，利用加权热核估计给出其上下界估计；2)在m-Bakry-Emery Ricci 有负下界条件下得到了加权黎曼流形与Witten Laplacian算子的分裂定理；3）研究光滑度量测度空间上的加权p-Laplaican算子，得到了m-Bakry-Emery Ricci 有负下界条件下W-熵公式与微分Harnack估计，为研究非线性扩散的Kaimanovich熵奠定基础；4）研究一般度量测度空间的Kaimanovich熵理论，为非光滑几何的刚性问题提供新的工具.