抽象解析数论中若干函数零点密度的应用研究

In 1975, John Knopfmacher put forward the conceptions of arithmetic semigroup and formation, and developed the corresponding theories. Thereby, the abstract analytic number theory was established. The abstract analytic number theory is the more generalization and abstraction. We can extend the subject investigated from the real number field to arithmetic semigroup G. In analytic number theory the distribution of prime is pay attention. In G there exists a subset P similar to prime set in natural number. We concern the prime distribution in G in the same way. The property of abstract zeta function plays an important role in the prime distribution for arithmetic semigroup. As the extension of arithmetic progression, we will give the definition of class group in arithmetic formation. Additionally, the.distribution of primes will be analyzed by means of the property of the abstract L-funtion. In this project, the abstract zeta function and the analytic property of abstract L-function will be discussed. And also, the estimation of zero density will be demonstrated. As an application of the abstract prime number theorem, the three prime’s theorem in abstract analytic number theory will be given. The.asymptotic formula of representation number for sums of three primes in arithmetic semigroup will be discussed.

1975 年John Knopfmacher 提出了算术半群和算术Formation 的概念并发展了相关理论，开拓了一门新的学科领域—抽象解析数论。抽象解析数论是经典解析数论的更一般化和抽象化，它将研究对象从实数域推广到更一般的算术半群G 上。在解析数论中，人们关心素数的分布情况，在G 中存在一个与自然数集合中素数集合类似的子集P，P 中的元素也称为素数，我们同样关心G 中素数的分布。抽象Zeta 函数的解析性质，尤其是其零点的情况对于研究算术半群中素数的分布有着重要的作用。作为算术级数中素数的推广，在算术Formation中定义类的概念，通过研究抽象L-函数的性质研究素数的分布。本项目将进一步研究抽象zeta 函数及抽象L-函数的解析性质，给出零点密度估计；作为抽象素数定理的一个应用，我们将研究抽象解析数论中的三素数定理，给出算术半群中的元素表为三个素数之和的表法个数的渐近公式。

抽象Zeta函数的解析性质，尤其是其零点的情况对于研究算术半群中素数的分布有着重要的作用。作为算术级数中素数的推广，在算术Formation中定义类的概念，通过研究抽象L-函数的性质研究素数的分布。算术Formation概念的引入，丰富了抽象解析数论的内容，使得我们能够站在一定的高度去研究一些初等的问题，为深入研究解析数论的一些问题开辟了新路。本项目在申请人前期工作的基础上，对抽象Zeta函数及抽象L-函数的零点密度给出了具体的估计。在研究过程中，得到了一些相关联重要的结论，并将部分结论应用于实际问题中。利用抽象Zeta函数 的零点分布特点，给出了 的对数导数零点的分布特点。同时，在对 进行估计时，算数函数的均值起了重要的作用，为了给出算数半群 上的算术函数 的渐进均值，本项目在公理A 的假设下, 给出了抽象函数 的渐近估计，利用该结果对算术半群G上的算术函数的渐近均值进行了研究, 并给出了其渐近估计。