周期介质下时滞格微分系统的脉冲行波解

Lattice differential equations, namely infinite systems of ordinary differential equations indexed by points on a spatial lattice, can be formally viewed as the discretization of partial differential equations along a spatial lattice, but the discrete laplace term essentially acts as the spatial nonlocality. Thus, it is a very important topic to establish its sytem theory. The purpose of this project is to study the existence and stability of the pulsating traveling waves for delayed lattice differential equations in heterogeneous (especially periodic) media and its related problems(asymptotic spreading speed). The existence of the pulsating traveling waves for this type equation will be established by constructing appropriate sub-sup solutions, combined with the monotone dynamical system (perturbation method or constructing auxiliary equations). Sequently, the stability of the pulsating traveling waves will be obtained via the comparion principle and the squeezing technique. For delayed lattice differential equations with Fisher nonlinearity, the precision estimation of the variational formular for the minimal wave speed will be proposed by the principal eigenvalue of the corresponding linear equation of the pulsating traveling waves. The influence of the periodicity and the propagation direction in high dimension and so on to the minimal wave speed will also be considered. Particularly, we are interested in the relationship between the asymptotic spreading speed and the minimal speed in periodic media and hope to provide theoretical basis for the influence of media to the dyamcics of this system.

格微分系统是由定义在具有几何结构的格上的无穷多个常微分方程耦合而成的系统，其在性质上可以看作是Laplace 项沿着格的离散化，但在本质上起到空间非局部作用，因此建立其系统理论是非常重要的课题。本课题计划研究时滞格微分系统周期环境下脉冲行波解的性质及其相关问题(渐近传播速度)。本项目将通过构造合适的上下解，并利用单调动力系统理论或者扰动理论，构造上下比较系统等方法研究时滞格微分系统脉冲行波解的存在性，并结合比较原理及挤压技术考虑脉冲行波解的稳定性；拟通过时滞格微分系统脉冲行波解线性化方程的主特征值对Fisher型最小波速的变分表达式进行细致估计，并研究空间周期性及高维情形传播方向对最小波速的影响，以及研究最小波速与渐近传播速度之间的关系。希望通过本课题的工作，为进一步理解介质周期性对该系统动力学行为的影响提供理论依据。

近年以来，空间非齐次情况下的相关研究一直是研究者关注的焦点。一方面空间非齐次往往对应着实际背景当中的各种环境异质性，因而具有更强的模型现实性；.另一方面，由于空间非齐次问题的研究受制于其空间非齐次这一特征，因此同样需要更具深度的数学理论作为研究开展的保障。. 本项目中，我们首先考虑了在单稳假设下，空间二维周期格上行波解的存在性和单调性，并运用基于比较原理的挤压技术证明了行波解的稳定性和平移意义下的唯一性。. 其次，研究了在种群动力学中有重要应用的一类描述二维格上带有年龄结构的单种群增长的格微分方程的行波解：在对应的ODEs系统存在连接平衡点和周期解的异宿轨的前提下，建立了该模型连接平衡点和周期解的大波速行波解的存在性；同时在对应的反应方程存在周期解时，利用相似的方法，还可以得到该模型围绕正平衡点的周期行波解的存在性。. 次之，在学习并继承以往积分-差分方程的行波解和传播速度研究的基础之上，不仅将空间非齐次性作为模型建模的重要特征，进一步还引入了部分静态的种群分量.对种群内部结构进行进一步细分，通过利用单调半流的相关结果并恰当地应用非紧测度这一重要工具，不但完整地得到了行波解和传播速度的存在唯一性，其结果进一步也强调了空间非齐次和部分静态等特征对行波解和传播速度，特别是对后者的重要影响，这些结果在相关研究中是比较新颖而有趣的。. 最后，在原有的单一种群模型的基础上，引入原种群的具有相同增长行为但自身又具有不同扩散性的变异种群作为竞争者，利用非局部特征理论和上下解方法，研究了由原种群和变异种群所形成的 Lotka-Volterra积分-差分方程组的渐近行为，特别是其半平凡静态解的局部和全局稳定性。