多自由度碰撞振动系统的激变及其阵发性动力学研究

Considering multi-degree -of -freedom vibro-impact systems. Using the limit set theory of dynamical system, the symmetry-breaking and symmetry restoring bifurcation theory of attractors, we will study various crises in the multi-degree- of- freedom vibro-impact systems. Using the cell mapping method and its modified method, we will investigate how to determine the non-attracting limit set and the attracting domain (basin) of attractors of the Poincaré map, and research further into the crisis mechanism and the global dynamics of vibro-impact systems. We will explore further the method of determining precisely the Lyapunov exponents and Lyapunov dimensions of the attractors, which can be used to characterize the type of the attractor. Based on the numerical simulations and experiments, we will study the intermittency dynamics which rises from the orbit alternating among different attractors. Considering the important effects of grazing bifurcation on the intermittency dynamics in the multi-degree- of- freedom vibro-impact systems, we will describe the complicated interaction between global smooth and local non-smooth. The conclusions of the study of this project will provide some important references for the optimal design of dynamical systems with impact in the engineering.

考虑多自由度碰撞振动系统。利用动力系统的极限集理论，以及吸引子的对称性破缺和对称性恢复分岔理论，研究多自由度碰撞振动系统的激变类型。利用胞映射方法及其改进方法确定多自由度碰撞振动系统的Poincaré映射的非吸引极限集以及吸引子的吸引域(吸引盆)，进而研究多自由度碰撞振动系统的激变机制以及全局动力学。进一步研究精确计算多自由度碰撞振动系统的Poincaré映射的吸引子的Lyapunov指数和Lyapunov维数，进而鉴别不同类型的吸引子。在此基础上，利用数值模拟方法以及实验方法研究多自由度碰撞振动系统的轨道可能在不同的吸引子之间交替而产生的各种阵发性动力学。此外，考虑擦边分岔在多自由度碰撞振动系统激变动力学中所起的重要作用，描述该系统中全局光滑和局部非光滑动力学之间可能存在的互相作用的复杂关系。该项目的研究结果可为实际工程领域中涉及碰撞的动力系统的优化设计提供重要的参考价值。

机械动力系统的内部构件之间往往存在微小间隙，从而导致实际工程领域普遍存在碰撞振动(vibro-impact)现象。碰撞的存在使动力系统成为强非线性以及非光滑动力系统，展示出复杂的动力学现象。因此开展多自由度碰撞振动系统的激变及其阵发性动力学研究具有重要的理论及实践意义。本项目利用动力系统的极限集理论，以及吸引子的对称性破缺和对称性恢复分岔理论，揭示了多自由度碰撞振动系统中存在的激变及其阵发性动力学现象：①混沌-混沌激变及其阵发性：如果两个混沌吸引子突然直接接触，由吸引子融合激变导致混沌-混沌阵发性。②拟周期-混沌激变及其阵发性：如果两个共轭拟周期吸引子突然嵌入到一个混沌吸引子中，产生拟周期-混沌混合型吸引子(Quasi-periodic chaos, 简记为QC)；这种混合型吸引子是由于在两个共轭拟周期吸引极限集和和一个混沌极限集之间发生阵发性形成的。并推测：拟周期-混沌混合型吸引子的出现，是两个共轭拟周期吸引子与某个不稳定对称极限集(可能是其它不稳定的对称多周期点、不稳定的对称拟周期极限集，或者不稳定的对称混沌极限集)接触导致的。③拟周期-拟周期激变：如果两个拟周期吸引子直接接触，它们将融合而形成一个更大的自身具有对称性的拟周期吸引子，此时无阵发性。并揭示了向对称性拟周期吸引子过渡的路径。此外，还利用Melnikov方法、Poincaré复合映射、吸引子的Lyapunov指数、胞映射方法、功率谱、相敏感率性质等方法和工具初步讨论了一类单自由度碰撞振子擦边范式映射混沌吸引子的拓扑结构、非光滑动力系统的奇异非混沌吸引子形成路径。最后，初步开展了铁道车辆非光滑动力学研究、关于齿轮动力学及其控制研究、关于刚性约束悬臂梁碰撞系统的动力学研究；研究内容包括擦边分岔、激变以及阵发性动力学、吸引子共存及其吸引域、利用OGY方法控制混沌等。