Plateau问题的解的存在性与正则性

Plateau’s problem, which is very important in the development of geometric measure theory, is a core topic in the domain. We have made very little progress in Plateau’s problem in recent years due to no appearance of new techniques. However, Guy David proposed the sliding boundary Plateau Problem in 2013. In the point of view of sliding boundary, we have new perspectives. We will firstly study the regularity of sliding almost minimal sets, then by the regularity we may approach the existence of the sliding boundary Plateau Problem.

Plateau问题一直以来都是几何测度论的一个核心问题，它推动着几何测度论的发展。但是由于缺乏新的工具出现，近些年来少有进展。然而，自从2013年Guy David提出sliding boundary Plateau问题之后，又涌现了新的途径，沿此途径，我门将探索sliding almost 极小集的正则性，通过这类集合的正则性来解决sliding boundary Plateau问题的存在性。

本项目的研究内容主要是Plateau问题之解的存在性以及极小集的正则性，这两个问题都是集合测度论的核心研究内容，到目前为止，Plateau问题的解的存在性依然是一个公开问题，而极小集的存在性目前人们所知的仅是三维欧式空间中的某些二维极小集的情形，高维情形依然缺乏工具来处理每一点处的C^1正则性，非欧空间或欧式空间的子集的情形更加难以处理。在本项目中，我们得到了许多类型的Plateau问题所得到的极小值都是相等的，在欧式空间的一类较好的子流形中，我们得到了Reifenberg Plateau问题的存在性，并且解决了三维欧氏空间中二维sliding almost minimal集在边界处的C^1正则性问题。