趋化性反应扩散系统的动力学性质及其应用研究

Chemotaxis-reaction-diffusion systems describe the relation among chemotaxis, diffusion and kinetic reaction, which have a broad real application background. This kind of dynamical systems have complicated nonlinear properties, so the reseach on them has been one of the hot and difficult problems in the field of differential equations.This project will study the dynamics of a generalized chemotaxis-reaction-diffusion system, the main contents include as follows: (1) Develop the Amann theory and improve the Moser iteration method to study the global existence and uniqueness of the solutions; (2) Develop the theory of degree index and use the bifurcation theory to study the existence and structure of non-constant steady state solutions; (3) Improve the multiple-scales nonlinear analysis theory, apply the monotone semiflow theory and the method of normal-mode analysis of nonlinear stability, to study the dynamical properties of the patterns (the existence of steady state patterns, pattern formation，invasion way and the selection mechanism of pattern shape); (4)Apply the obtained theoretical results to concrete biological models, and the numerical research on these models will be implemented. The results of this proposed research will improve and perfect the related theories of differential equations and dynamical systems, and provide new ideas, new theories and new methods for studying the problems in the disciplinary area of mathematics and applied disciplines, and impel the numerical simulation of the growth and development of organisms and their morphogenesis. This is an interdisciplinary project intersected by mathematics, biology, chemistry and so on. Therefore, this research project has both important scientific significance and research value.

趋化性反应扩散系统刻画趋化性、扩散性及内在反应等因素之间的关系，具有广泛的应用背景,该类系统有复杂的非线性性质，因而是微分方程研究领域的热点和难点。本项目将研究一般形式趋化性反应扩散系统的动力学性质，包括(1)发展Amann理论及改进Moser迭代方法，研究解的整体存在性与唯一性；(2)发展度指标理论及利用分支理论，研究非常数定态解的存在性与结构；(3)改进多尺度非线性分析理论，利用单调半流理论与非线性正规模稳定性分析方法，研究斑图动力学性质(定态斑图存在性、形成过程、入侵方式及形状选择机制)；(4)将上述研究成果应用到具体的生物数学模型，并进行数值研究。项目的完成将改进和完善微分方程与动力系统相关理论；为研究数学与应用学科交叉领域的问题提供新思想、新理论和新方法;推进生物体生长发育过程及形态形成的数值模拟研究；该项目是数学与生物学、化学等学科领域交叉类项目，具有重要的科学意义和研究价值。

一、项目研究背景. 趋化性反应扩散系统包含生化趋向性项、扩散项及反应项，能细致、准确地刻画生物体的结构、形态与运动规律及大量的自然现象，通过对此类模型的研究能揭示生物体及自然现象的动力学行为及其内在规律和本质，从而受到相关领域专家与学者的广泛关注。但是，趋化性反应扩散系统拥有非线性扩散效应、非线性梯度流、奇异性及退化性等，其动力学性质的研究对相关的经典数学理论提出了挑战，因而对基础研究具有重要意义。因此，申请人将“趋化性反应扩散系统的动力学性质及其应用研究”作为本项目的选题。. 二、主要研究内容、重要结果与关键数据.1.发展了度指标理论及改进Moser迭代方法，利用偏微分方程正则性理论等，获得交叉扩散趋化性反应扩散系统定态解先验界估计的新方法，从而确立非常数定态解存在性与不存在性条件。.2.发展了Amann理论及动力系统稳定性与持久性理论，研究了空间异质拟线性扩散趋化性反应扩散系统的全局动力学性质。获得了拟线性扩散系统满足比较原理的条件，从而确立系统全局吸引子与共存定态的存在性及系统的一致持久性条件。.3.发展了分支理论，利用单调半流理论，开创了“累积分布函数”的新思路，获得了非局部非单调动力系统周期斑图解的存在性唯一性与稳定性条件以及局部与全局结构。.4. 改进多尺度非线性分析理论，利用Fredholm理论及正规模非线性稳定性分析，获得二维空间具有体积填充效应的趋化性反应扩散系统定态斑图存在性、形成过程、入侵方式及形状选择机制。.5. 编写了拟一维、二维偏微分方程数值仿真MATLAB程序与MAPLE数值计算程序。.6.发展了比较原理与上下解方法，在单调动力系统渐近传播速度、行波斑图的双稳波速符号与单稳最小波速选择机制等传播动力学领域取得重大创新性成果。.7. 本项目组成员在国内外重要学术期刊发表论文20余篇。其中，项目主持人同时以第一作者与通讯作者在SCI期刊发表论文12篇，以通讯作者发表SCI期刊论文2篇。. 三、科学意义. 上述研究成果促进了微分方程解的存在性与唯一性理论、单调半流理论、非线性分析理论及斑图与传播动力学理论的完善与应用；为研究数学与交叉学科领域的问题提供了新思想、新理论和新方法；为传染病传播速度的预测及控制传染病的传播等提供了一定的理论依据；促进了生物体生长发育过程及形态形成的理论与数值模拟研究。