复动力系统及其应用

In this project, we will investigate the central problems in complex dynamics and its applications in the field of statistical physics and value distribution theory. Complex dynamical systems is a fascinating field. Nowadays, the central problems in this field include the hyperbolicity conjecture and the structure of Julia sets. This program consists of the following concrete problems: the topological properties of the parameter space of McMullen's maps; the escaping locus of rational maps; the combinatorics and topology of Julia sets of rational maps; the geometric properties of the Julia sets, including Cantor Julia sets and the Julia sets of non infinitely renormalizable polynomials. As applications of this field, we will focus on the applications in statistical physics and value distribution theory. In the field of p-adic dynamics, the problems we will study involve the wandering domains of Fatou sets, the density of repelling periodic points and the uniformity of Julia sets, the canonical measure of Julia sets.

本项目致力于研究复动力系统领域的核心问题及其在统计物理、值分布论方面的应用，研究p-adic动力系统和Berkovich空间上的动力系统。复动力系统是现代数学研究的热点之一，主要问题包括双曲猜想、有理函数Julia集的结构。我们将研究与之相关的一些问题,其中包括：McMullen有理函数族参数空间的拓扑性质；有理函数逃逸双曲分支；有理函数Julia集组合结构、拓扑性质； 有理函数Cantor Julia集和非无穷重整多项式Julia集的几何分形性质等。作为复动力系统的应用，本项目将研究统计物理和值分布论中的复动力学方法。p-adic动力系统和Berkovich空间上的动力系统是目前国际上广受关注的新方向。对于这个领域，我们将重点研究Fatou集的游荡域问题，斥性周期点的稠密性与Julia集的一致性问题，Julia集的典范测度等。

复动力系统是现代数学研究的热点之一，在很多数学分支中有广泛应用。本项目深入研究了复动力系统领域的核心问题及其在统计物理，值分布理论的应用，研究了非阿基米德域上的动力系统，取得了深刻的成果。. 我们证明了McMullen有理函数族参数空间逃逸型双曲分支的边界是Jordan曲线，完整地刻画了无界双曲分支的边界并证明了尖点的稠密性；证明了三次牛顿迭代映射参数空间的所有双曲分支的边界都是Jordan曲线；证明了Cantor circle型双曲分支都是高维欧式空间与高维环面乘积空间的有限商空间，这是关于有理映射模空间双曲分支的整体拓扑的第一个结果；有理函数动力系统的重要工作之一是Thurston关于临界有限有理函数拓扑特征的相关理论，我们将Thurston定理推广到一类具有Herman环的临界无限情形，证明了Herman映射的分解定理；我们对临界有限有理函数引入Cantor型曲线族，利用Cantor型曲线族对临界有限有理函数Julia集进行分解，并证明这种分解产生重整化，证明临界有限有理函数Julia集有分离型游荡连续统的充要条件是它具有Cantor型曲线族；我们对一类具有多个临界点box映射的拟共形刚性给出了证明；我们刻画了Milnor曲线和椭圆曲线的算术性质；我们完全解决了p-adic homographic动力系统的极小分解问题，证明了此系统可以分解为有限多个拓扑共轭的极小子系统；我们首先引入“非退化映射”和“伪仿射映射”概念，得到经典Pappus定理的一般化及应用，解决了高维双曲空间和欧氏空间（全局或局部空间）的映射的刚性问题；我们系统研究了统计力学金刚石型等级晶格上的Potts模型的有理函数族及其参数空间的动力学性质，并给出了一系列的结果，包括重整化变换的动力学分类，Fatou和Julia集的拓扑性质，自由能量的临界指数等；我们研究了亚纯函数值分布理论与代数体函数理论，包括：全纯曲线的偏差量和增长性问题，圆环上亚纯函数涉及小函数的五值定理，代数体函数的Borel方向的问题，单位圆盘上代数体函数的径向值分布问题，向量值亚纯函数的展布关系，二连通区域上的复微分方程解的增长性问题以及有穷级函数充满圆与海曼方向的联系等问题等。