离散可积系统边界问题的研究

Boundary problems for integrable systems consist in research on integrable systems with arbitrary boundary and their related boundary-value problems. Choosing appropriate boundary conditions for integrable systems is inherent in the definition of integrability, and has a wide range of applications in mathematical physics. In the field of integrable nonlinear PDEs, the notion of integrable boundary conditions is not well defined, and systematic method for solving integrable boundary-value problems is not well established. Little is understood about boundary problems for discrete integrable systems either. The proposed research will focus on boundary problems for fully discrete integrable systems (both space and time variables are discrete). This task is divided into the following three projects: 1) understand the well-posedness for quad-graph systems with boundary that are discrete equations defined on arbitrary planar graphs with boundary, and solve numerically the discrete initial-boundary-value problems; 2) develop a comprehensive method for obtaining discrete integrable boundary conditions, solve related boundary-value problems and obtain exact solutions; 3) by taking continuous limits of discrete integrable boundary conditions, develop continuous integrable models with boundary and understand the corresponding integrability criterion. The whole project is set to improve general understanding of discrete integrable systems, develop methods that treat discrete boundary problems, and lay some foundations for more general understanding of boundary problems for integrable systems.

可积系统的边界问题是对带任意边界可积系统可积性及其边值问题的研究。对可积系统边界条件的选取包含于可积性的定义中，是可积系统研究的根本问题之一，并有着广泛的数学物理应用。目前将可积边界条件引入连续可积方程、并对其系统求解的方法有待进一步发展。而对离散可积系统边界问题的理解同样处于萌芽状态。本项目在于研究全离散可积系统的边界问题，将主要关注以下3个方面内容：1）研究在任意带边界平面图上离散系统（即带边界四边图系统）的适定性，数值求解一般性的离散初边值问题；2）研究离散可积边界问题，发展求解离散可积边界条件及其边值问题的方法，得到精确解；3）通过研究离散可积边界条件的连续极限，拓展连续的带边界可积模型，并进一步探索带边界连续方程的可积性。本项目的研究将加深对离散系统及其可积性的认识和理解、发展处理离散边值问题的方法、并为探索一般性处理带边界可积系统的方法建立基础。

可积性的定义依赖于边界条件，或者说边界条件是可积内在的性质。一般情况下，周期边界条件或趋零边界条件表明可积。一般带边界的问题，比如定义在半直线或线段上的可积模型是可积系统理论与应用的重要推广。带边界的模型可以描述更一般的物理现象，更多的数学工具也需要被引入。..本项目研究的内容是可积边界理论在二维经典可积模型与可积链式方程中的应用。可积边界是量子可积理论中衍生出的重要概念，本质是通过量子Yang-Baxter方程与反射方程等代数结构保证带边界问题的可积性，即保证有足够多的可换流。相关概念可以衍生至经典可积系统中的经典Yang-Baxter方程与反射方程，并可以得到一类经典可积模型的可积边界条件。虽然被证明可积，但是一般性的求解带边界模型的方法仍然欠缺。同样Yang-Baxer方程可以与四边形链式方程的多维相容性相联系，相应的反射方程衍生出边界相容性，刻画四边图上的链式方程的可积边界问题。离散可积边界这是一个新的研究课题，其一般性质与应用有待发展。..本项目的主要成果包括：1）引入边界穿衣的方法，用来系统性的精确求解一大类定义在半直线上可积方程；2）发展了可积链式方程的达布变换或共变性，建立了共变性与多维相容的联系，将共变性系统性的推广到整个ABS链式方程分类；3）提出了边界零曲率方程与边界矩阵，证明了其与边界相容性的等价关系；4）提出了开边界约化，是可积边界理论在带边界四边形方程上的推广 。除此之外，本项目还涉及求解一些特殊的可积模型。..以上成果为研究一般性带边界的可积系统打下了基础。这包括边界相容性的推广、精确求解代边界的链式方程、精确求解定义在线段上的可积方程等。