加权射影空间的倾斜对象

This project mainly studies the tilting objects in the categories of coherent sheaves on weighted projective spaces. We plan to to construct some new tilting objects in the categories of coherent sheaves on weighted projective spaces and to describe their endomorphism algebras, to classify all tilting objects in the categories of coherent sheaves on weighted projective lines with genus 1 and classify endomorphism algebras of the tilting objects, to classify all 2-hereditary tilting bundles in weighted projective curves, to solve chan's conjecture on 2-hereditary tilting bundle and Fano weighted projective curve. We also to discuss the recollement of weighted projective spaces, to classify all irreducible polynomial supermodules over q-Schur superalgebras, to discuss the existence of canonical tilting supermodule over q-Schur superalgebras, and to try to realize categorification of q-Schur algebra using the 2-peroide complexes of quiver representation of weighted projective lines.

本项目主要研究加权射影空间的凝聚层范畴及其导出范畴的倾斜对象。构造加权射影空间的凝聚层范畴和其导出范畴的非“标准”倾斜对象并刻画其自同态代数；确定亏格为1的加权射影线上凝聚层范畴以及它的导出范畴的倾斜对象的完全分类；刻画低维Calabi-Yau加权射影空间的倾斜对象；给出加权射影曲面的2-遗传倾斜丛的完全分类；用一些特殊的高维倾斜对象刻画Fano型的加权射影空间；解决Chan关于fano加权射影曲线与2-遗传倾斜关系的猜想。同时讨论加权射影空间的recollement的构造、研究加权射影线凝聚层范畴的张量范畴与加权射影空间凝聚层范畴中倾斜对象的联系；确定若干q-Schur超代数的所有不可约多项式超模的完全分类，讨论q-Schur超代数的标准倾斜超模的存在性；试图利用加权投射线的凝聚层范畴箭图表示的2-周期循环复形范畴实现q-Schur代数的范畴化。

对于亏格为1的三元权型的加权射影线的向量丛范畴的稳定范畴，我们构造了自同态代数是管状型的倾斜对象。对于权型（2,2,2,2）凝聚层范畴，利用从突变构造了含秩为2的丛倾斜对象，并给出的倾斜对象自同态代数的完全分类。证明了某些群对于加权射影线凝聚层范畴的作用的等变范畴仍然是加权射影线的凝聚层范畴，以清晰的公式给出作用前后加权射影线的亏格和权型的对应。探讨了string群在加权射影线的凝聚层范畴的degree平移作用的等变范畴之间的关系，指出它们由string群之间的可允许群同态所确定，确定了domestic型和管状型的加权射影线的凝聚层范畴的等价类的完全分类。给出交换环上的q-舒尔超代数S_{q,R}(m|n, r)的刻画和域F上超代数U_{q,F}(m|n)的多项式超模的判定法则，从而确定了单位根上多项式不可约超模的完全分类，确定了不可约S_{q,F}(m|n, r)-超模的完全分类，给出了关于Heche代数H_{q^2,F}(G_r)的不可约模的Mullineux猜想的新的证明。引进了仿射舒尔超代数的概念作为联系李超代数gl_{m|n}的loop代数的泛包络代数UQ(^glm|n)的结构和表示的桥梁，给出了UQ(^glm|n)的BLM型的实现，得到了任意特征的超仿射Schur-Weyl对偶。利用量子微分算子构造量子奇异超群Uυ(qn)的超表示，其齐次分支可作为奇异q-舒尔超代数的基空间。将此表示推广到它的形式幂级数代数，它包含同构于Uυ(qn)的正则表示的超子模。用新的基给出量子奇异超群Uυ(qn)的显式乘法公式，通过齐次分支得到奇异q-舒尔超代数的表示，并将Beilinson-Lusztig -MacPherson结构扩充到量子超群。重新构造了奇异李超代数的泛包络代数, 得到了Schur-Weyl -Sergeev对偶新的解析，给出了Z上的 Schur-Weyl -Sergeev对偶。