Hopf代数的结构、表示及同调性质的研究

The structures,representations and homological properties of Hopf algebra are very important projects of noncommutative algebras. The theory of Hopf algebras is a rich and diverse, and has deep influences and important applications in algebraic and differential geometry, representation theory, algebraic combinatorics, topological quantum field theory, von Neumann algebras, mathematical physics, and many other areas. The rich structure of the category of representations of a Hopf algebra is due to the fact that it is a tensor category. The study of tensor categories and their various applications led to the study of (quasi)Hopf algebras, and vice versa. Hopf algebras and their applications have a noncommutative flavor which makes the study more challenging. We take a homological and geometric approach to the representation theory of Hopf algebras, expanding what is known for finite groups and more generally finite group schemes to noncommutative case. The research program targets understanding of the structures and representations of Hopf algebras, support variety theory, cohomology of Hopf algebras, and algebraic deformations, algebras on which they act, and related structures such as smash or crossed products and their Hochschild cohomology. We are also interested in the study of FP dimensions of tensor categories. The study of the project will have theoretical significance and important application value.

Hopf代数的结构,表示及同调性质是非交换代数的重要课题。Hopf代数是一个丰富多彩的领域,在代数与微分几何、表示理论、代数组合、拓扑量子场理论、冯诺曼代数、数学物理及其它许多领域有重要影响和应用。Hopf代数的表示范畴很丰富的原因在于它是一个张量范畴,对张量范畴及应用的研究将引导(拟)Hopf代数的研究,反之亦然。Hopf代数及其表示的非交换特点使得对它的研究更具挑战性。我们将采取同调与几何方法探讨Hopf代数的表示,将有限群与概型的已知结果和方法拓展到非交换的情况。研究计划目标是，理解Hopf代数的结构和表示及支撑簇、Hopf代数的上同调与代数形变、Hopf代数作用及碎积或交叉积等相关结构,Hochschild上同调。我们也关注张量范畴的FP维数的研究。本项目的研究具有重要的理论意义和应用价值。

Hopf代数的结构及表示是非交换代数的核心领域和重要研究课题，它在代数、分析、几何、拓扑、组合、量子场理论等数学和物理的众多领域有着重要影响和应用。本项目取得的一系列研究成果主要包括以下几个方面：(一)研究Hopf代数的不可约表示及其张量积分解、Green环，给出整体维数小于等于3的Artin-Schelter正则代数在某些Hopf代数作用的分类；(二)研究某些Hopf代数双交叉积的分类和双代数的弱交叉积构造，建立和发展了张量型Hopf代数的扭曲偏作用，并研究偏模代数的整体化问题；(三)刻画了某些Radford双积型代数自同构群的子群，刻画某些特殊类型的代数的PBW形变；(四)研究张量范畴的函子化和表示，给出某些缠绕模范畴和Yetter-Drinfeld模范畴及其带状结构的构造；(五)研究了相对导出范畴与同调维数，引入n-纯正合结构类，证明R-模范畴的有界n-纯导出范畴三角等价于范畴PPn(相应地,PIn)的上(或下)有界同伦范畴的一个三角满子范畴。在我们的研究成果中，我们发展了若干方法和技巧，推广并改进了国际同行专家的结果。我们的研究工作是对Hopf代数、代数表示及相关领域研究的丰富和发展。本项目的研究不仅为我们将来的研究工作打下了坚实的基础，而且具有重要的理论意义和应用价值。