抛物型积分微分方程最优控制问题的高效混合有限元方法

Numerical treatment for optimal control problems governed by partial differential equations is one of the hot international frontier research topics. When the objective functional in the control problems contains the gradient of the state variables, mixed finite element methods should be used for discretization of the state equation. At present, there exists some papers on standard RT mixed finite element method for elliptic and parabolic optimal control problems, and nonstandard H1-Galerkin mixed finite element method for elliptic optimal control problems. In this project, we will apply the above two methods to parabolic integro-differential optimal control problems, we mainly investigate two aspects: 1. For RT mixed finite element approximation, we will analyze superconvergence properties; using postprocessing method, we will discuss a posteriori error estimates. 2. For H1-Galerkin mixed finite element approximation, using new elliptic projection, we will consider a priori error estimates; we will construct new projection operator to discuss the superconvergence properties; by use of elliptic reconstruction method and energy method, we will derive reconstructed and residual-type a posteriori error estimators respectively. Due to the integral term included in the state equation, which makes deriving the optimality conditions, analyzing a priori and a posetriori error estimates and designing algorithms more difficult, especially for fully discretized scheme. Thus, this project is not only full of challenges but also of great theoretical significance and practical applied value.

数值求解偏微分方程类型的最优控制问题是计算数学领域中热门的国际前沿课题之一。当最优控制问题目标泛函包含标量函数的梯度时，混合有限元方法便是一种有效的数值方法。目前，关于椭圆和抛物最优控制问题标准的RT混合有限元方法以及椭圆控制问题非标准的H1-Galerkin混合有限元方法方面的研究，已有一些成果。本项目将这两种方法应用到抛物积分微分最优控制问题，主要研究两个方面：1. 针对RT混合有限元逼近，分析超收敛性质；利用后处理方法，获得后验误差估计。2. 针对H1-Galerkin混合有限元逼近，重新定义椭圆投影，分析先验误差估计；构造新的投影算子，分析超收敛性质；利用椭圆重构法和能量法，分别获得重构型和残量型后验误差估计子。由于状态方程中包含积分项，这使得最优性条件推导、先验和后验误差分析以及算法设计变得非常困难，尤其是全离散格式。因此，本项目既富有挑战性，又具有重要理论意义和实际应用价值。

最优控制问题存在于现实生活的各个方面，如温度控制问题、电磁场控制问题、空气污染控制问题等。近年来，已形成多种有效数值计算方法来求解偏微分方程支配的最优控制问题，其中有限元方法应用最为广泛。当最优控制问题目标泛函包含标量函数的梯度时，混合有限元方法便是一种有效的数值方法。本项目主要利用H1-Galerkin混合有限元方法和RT混合有限元方法来求解抛物积分微分控制问题，研究先验、超收敛和后验误差估计。由于状态方程中包含积分项，这使得最优性条件推导、先验和后验误差分析以及算法设计变得非常困难，尤其是全离散格式。目前，在本项目的支持下，我们获得下面六项结果：.1. 给出抛物积分微分控制问题H1-Galerkin混合有限元方法的最优性条件，获得所有变量的先验误差估计。.2. 给出伪双曲积分微分控制问题H1-Galerkin混合有限元方法的最优性条件，获得所有变量的先验和后验误差估计。.3. 给出半线性抛物积分微分方程扩张Raviart-Thomas混合有限元方法的两步两层网格算法并分析收敛性。.4. 给出一类抛物最优控制问题H1-Galerkin混合有限元方法的最优性条件，获得所有变量的先验和后验误差估计。.5. 利用Raviart-Thomas混合有限元方法来求解抛物积分微分最优控制问题，给出两层网格算法并分析误差。.6. 抛物积分微分最优控制问题H1-Galerkin混合有限元方法的后验误差估计。