具有随机场系数的积分微分方程最优控制问题的高效数值方法研究

Numerical computation of stochastic optimal control problems has been one of the new hot research topics in the study of optimal control problems in recent years. In this proposed research, we apply stochastic Galerkin finite element methods and stochastic Collocation methods to the optimal control problems governed by the integral-differential PDEs with some random coefficients. We firstly establish stochastic Galerkin finite element and stochastic Collocation approximation scheme for them and derive the optimality conditions by using the convex analysis. Based on these, we study stochastic Galerkin finite element discritization and stochastic Collocation discritization, analyze the convergence of these schemes and derive the priori error estimates with the optimal orders. On computational side, we design and develop efficient stochastic Collocation multigrids solvers for the optimal control problems for several different control constraints, and carry out intensive numerical simulations in order to test the theoretical results and compare the computational efficiency of the different solvers. Furthermore we study stochastic elliptic integral-differential PDE control problems with the state (expectation) constraints, and develop stochastic Galerkin finite element approximation of such control problems and derive a priori error estimates. Our research is important to theory and applications of optimal control problem governed by stochastic PDEs.

近年来随机最优控制问题数值计算已经成为最优控制研究中的新热点，本研究采取随机Galerkin有限元方法和随机Collocation方法研究具有随机场系数的积分微分方程最优控制问题的数值逼近和理论分析,发展其高效数值方法。拟首先建立其随机Galerkin有限元和随机Collocation逼近格式，进而利用凸分析建立控制问题在一般控制受限情况下的最优性条件。在此基础上研究其随机Galerkin有限元和随机Collocation积微分全离散方法，分析计算格式收敛性等以获得最优阶先验误差估计。在计算方法上设计出高效的随机Collocation多重网格计算格式，发展该问题的高效算法，进行各种规模的数值实验以验证理论结果和比较计算效率。并进一步研究状态受限的随机椭圆型积分微分方程最优控制问题的随机Galerkin有限元方法及先验误差估计。本研究对丰富和完善随机最优控制理论和应用有着重要的意义。

本项目主要采用随机Galerkin有限元方法和随机Collocation方法研究了具有随机场系数的随机椭圆型、抛物型方程，随机分数阶扩散方程，随机椭圆型积分微分、抛物型积分微分方程最优控制问题的数值逼近和理论分析,发展其高效数值方法。主要研究内容有：(1)应用随机Galerkin有限元方法研究具有随机场系数的随机椭圆、抛物型方程，随机椭圆型积分微分、抛物型积分微分方程最优控制问题的数值逼近和理论分析,并发展其高效数值方法。首先推导出上述随机最优控制问题的最优性条件，运用随机Galerkin有限元方法来离散上述最优性条件，得到相应随机最优控制问题的积微分全离散格式，引入中间变量研究分析计算格式的收敛性并获得最优阶的先验误差估计。该工作率先系统地研究了上述随机最优控制问题的随机Galerkin有限元数值逼近和理论分析,提出了新的梯度算法并进行数值模拟；(2)采用随机Collocation方法研究控制受限的随机椭圆型、随机椭圆型积分微分、随机抛物型积分微分方程最优控制问题的数值逼近和理论分析,发展其高效数值方法。随机Collocation方法已经逐渐成为具有随机场系数的随机偏微分方程计算的重要工具。我们重点研究了分区域的随机Spline-Collocation方法，其优点是可以用随机Collocation方法处理有局部奇异性的最优控制问题，提高了随机Collocation方法在这种情况下的计算效率；(3)初步开始研究了状态期望受限的随机椭圆型方程最优控制问题的随机Galerkin有限元方法。应用凸分析中次微分和Slater条件，首次得出状态受限随机最优控制问题的最优性条件，然后给出其随机Galerkin有限元逼近，推导出最优阶逼近误差先验估计，发展出新的梯度算法并进行了数值试验，该工作填补了状态受限随机最优控制问题的研究空白。在基本完成本项目研究工作目标的基础上，进一步拓展了研究领域和研究方法，例如对随机分数阶扩散方程最优控制问题的有限元方法和伪抛物型积分微分方程最优控制问题的自适应有限元方法进行了研究，并发表了其研究成果。