非线性问题的高精度自适应数值流形方法及其误差理论研究

The project will research error analysis theory of numerical manifold method in Sobolev space for potential problems and elasticity problems, including lower order norm estimate, negative norm estimate, and non-integer order norm estimate. The algorithm of adaptive covering meshes of h, p, and h-p will be presented in the complicated physical covering meshes. Error estimation of discrete problems in adaptive covering meshes of complicated multi medium region is described, and the computational software is designed. On the basis of above study, considering the algorithm of nonlinear discrete algebraic equations of the adaptive covering meshes, using weighted residual method, adaptive numerical manifold method for nonlinear problems is obtained. The algorithm and calculation precision of adaptive covering meshes are researched for nonlinear problems based on the perturbation method, and error estimate analysis is given. Finally, the research achievements are extended to double nonlinear problems of shape memory alloys, the change of modulus of elasticity in different temperature is described coupling with stress, strain, temperature, and percentage of martensite. An adaptive numerical manifold method for shape memory alloys is presented. This project will establish error analysis theory of numerical manifold method, and promote the numerical manifold method development and applications. High calculation precision and massive calculations are given in the existing hardware resources.

在Sobolev空间，研究势问题和弹性力学问题的数值流形方法的误差估计理论，包括低模估计、负模估计和非整数阶模估计等。然后，研究复杂物理覆盖网格上的h、p和h-p自适应有限覆盖空间的自动构造方法的算法，复杂区域多介质上构造的复杂覆盖网格上的离散问题的误差估计，并进行软件实现。在此基础上，基于加权残数法建立非线性问题的自适应数值流形方法，引入摄动法研究非线性问题的自适应数值流形方法离散方程中非线性代数方程组的解法及其精度，并对其进行误差估计。最后，将研究成果推广到较为复杂的形状记忆合金非线性问题上，研究形状记忆合金在不同温度下其弹性模量的变化与应力、应变、温度、马氏体百分数之间的非线性耦合关系，建立形状记忆合金问题的自适应数值流形方法。本项目将建立数值流形方法较为完善的误差分析理论，并使该方法在现有的硬件资源条件下扩大计算的规模和提高计算的精度，促进数值流形方法的发展和应用。

目前，国内外岩体工程发展迅速，其工程设计、施工、稳定性评价和岩体加固等都直接依赖于节理岩体的强度、变形及裂隙的扩展等特性。数值模拟作为一种力学状态的分析工具，已成为解决岩体工程问题的最有效手段，其中数值流形方法是目前在岩体工程中应用最广、最成功的一种数值模拟方法。. 到目前为止，数值流形方法的许多基础性理论工作还没有展开研究，尤其是数学覆盖系统的网格生成算法研究。众所周知，面对岩体工程这种非常复杂的工程与科学问题，限制现有数值方法发挥其更大作用的一个重要因素是网格生成问题。网格生成是计算机辅助工程 (CAE)的共性支撑技术之一，全自动高质量网格生成方法研究一直是CAE领域的研究热点。. 本项目主要研究内容：(1)用ZZ方法的节点平均法求每个拓扑星处的光滑应力，对光滑应力分量做修正，用它代替精确解做误差估计，并在Sobolev空间中对覆盖网格上的自适应离散问题及后验误差进行了误差估计。(2)以统一的形式描述曲面几何特征和由外界因素产生的自适应源，物理网格的曲线/曲面几何特征转化为数学覆盖网格尺寸信息，建立了二维参数曲面的自适应剖分算法。(3)在二维弹性力学问题中，采用Delaunay三角形数学覆盖与物理网格重叠形成物理覆盖下的流形单元，根据Delaunay三角形单元的外接圆特性，结合应用广泛的Bowyer-Watson 算法对流形单元进行了加密处理，提出了一种基于流形单元的自适应分析方法，并给出了三角形流形单元的加密方案。(4)将有限覆盖自适应网格构造算法实现于计算机，并与现有程序进行了接口对接。(5)将自适应剖分算法应用于压电复合材料力学性能分析，并和现有方法进行了对比。. 依托本项目项目组共发表文章18篇，其中SCI收录7篇，EI收录5篇，录用2篇；申请专利5项；获山东省高校科研成果奖1项(三等奖)；培养研究生8人，已毕业4人。. 通过本项目的研究，建立了自适应数值流形方法较为完善的误差分析理论，并使该方法在现有的硬件资源条件下扩大了计算的规模并提高了计算的精度，促进数值流形方法的发展和应用。