非线性移动界面问题的自适应数值方法研究

The non-linear moving interface problem is the important problem in science and engineering. This study will develop a new adaptive moving mesh method (called the discontinuous moving collocation method) to solve the moving interface problem based on the interface method and the moving mesh method. The layout of the study is as follows. In the first part, we design a monitor function for the problem, so that the adaptive mesh will capture the location of the interface and the singularity of the solution. In the second part, we will get an adaptive algorithm which will solve the mesh equation and the problem as a coupling system, by using the coordinate transformation and the domain decomposition method. In the third part, we will give a piecewise discontinuous Hermite interpolation polynomial to approximate the solution, and then solve it by the finite volume method. Our discontinuous moving collocation method immerse the idea of the interface method to the adaptive method, and does not introduce any extra work when compare to the original moving collocation method.

非线性移动界面问题是科学和工程中的一类重要问题。项目拟结合界面方法和自适应方法各自的优势，设计一个符合该类问题特性的自适应移动网格方法（间断移动配置方法）。项目将从以下三个方面展开。第一个方面为移动界面问题构造一个合适的控制函数，使得生成的自适应网格能够兼顾界面点和解的局部奇异性带来的数值困难。第二个方面通过引入坐标变换、区域分解等技术，设计一个网格方程和问题方程耦合求解的自适应移动网格算法。第三个方面是在非一致的网格上构造一个间断的分片埃尔米特插值多项式来逼近界面问题的解，然后利用有限体积方法离散求解。我们的间断移动配置方法非常自然的将界面处理思想融合进自适应方法之中，相比普通的移动配置方法几乎没有引入额外的工作量。

移动网格方法和界面方法是计算数学的两个重要研究领域，各自都得到了很好的发展。然而，结合两种方法各自的优势设计新的有效的数值方法来求解带局部奇异性的移动界面问题的研究却鲜有所见。其原因主要在于界面方法在非一致网格上显得比较复杂，两种方法之间找不到好的结合点。本项目在已有的自适应算法方面的工作基础上，融合解的间断性质，利用移动配置方法，并结合区域分解技术构造了一个新的自适应移动网格方法（间断移动配置方法）。该方法充分利用移动配置方法数值离散上的优势，避免了界面点附近复杂的离散格式。另一方面，由于移动配置法具有满足守恒律、较高的稳定性和收敛性等良好性质,新算法相比已有的移动有限差分算法在数值上更加稳定和有效。