在非线性下马氏过程的遍历性和大偏差

该项目研究与非线性算子相关的马氏过程的遍历性和大偏差。我们将主要研究两种类型, 一类是非线性期望下的马氏过程； 另一类是随机非线性波动方程所确定的无穷维马氏过程。在非线性期望下的马氏过程没有经典意义下的遍历性,它们的大时间行为如何是一个很基本的问题。我们将通过研究它们的遍历性和大偏差来认识这类过程的大时间行为表现。在经典概率框架下，我们将研究由时空白噪声驱动的随机带阻尼项的波动方程的解的大时间行为，即构造该系统的不变测度以及证明与该不变测度有关的各类不等式，进而研究该系统的大偏差理论。在该项目中，我们将研究该系统的遍历速度；且探讨在非线性期望下，随机波动方程的大时间行为表现。统计、风险度量、非线性偏微分方程是非线性期望重要源泉，反过来，将非线性下的马氏过程理论应用于统计、金融数学和非线性偏微分方程，必将促进这些领域的发展。

我们引入关于容度的相对熵且建立相应的大偏差原理; 在非线性期望下，经验过程和Gauss 过程的一些偏差不等式被建立; Donsker-Varadhan熵的概念被推广到非线性期望下的马氏过程，且Markov 过程的一些大偏差结果被拓广到非线性期望情形；我们获得非线性期望下Brown运动泛函的一个变法公式，建立G-扩散过程的一致大偏差原理和支撑定理。我们研究了一些扩散过程、随机矩阵、风险模型、统计模型的泛函，包括随机矩阵的特征值的大偏差和中偏差问题; 并将其应用于统计推断。 我们研究了一类含有delta 函数的时空噪声随机波动方程, 给出随机波动方程的点源位置的参数的一个估计， 且证明了该估计的收敛性。我们系统研究随机动力系统非线性泛函的渐近性质，对一些扩散过程和正倒向随机微分方程建立了一些中偏差原理和中心极限定理。这些研究是对大偏差理论及其相关领域的一些发展。