Pooling设计和压缩感知矩阵的构造及其相关问题的研究

In this project, we will study constructions of pooling designs and compressed sensing matrices and several related topics basing on geometry of classical groups over finite fields, combinatorial designs, etc. The research work of this project will focus on the following aspect: (a) Constructing pooling designs by geometrical spaces under the action of classical groups over finite fields and then discussing its disjunct property. (b) Constructing association schemes by geometrical spaces under the action of classical groups over finite fields and giving a new family of pooling designs by these association schemes. (c) Constructing compressed sensing matrices by geometrical spaces under the action of classical groups over finite fields and analyzing its signal recovery ability.

本项目将利用有限域上的典型群几何学及组合设计等工具研究Pooling设计和压缩感知矩阵的构造以及相关的组合问题。本项目具体研究：基于有限域上典型群作用下的几何空间构造Pooling设计，研究其析取性质。基于有限域上典型群作用下的几何空间构造结合方案，利用所构造的结合方案构造新的Pooling设计，并研究其析取性质。基于有限域上典型群作用下的几何空间构造压缩感知矩阵，分析所构造矩阵恢复信号的能力。

20世纪以来，随着生命科学和信息科学的高速发展，运用理论模型和数值计算来研究生命科学和信息科学，已成为近年来研究的一个热点。本项目中Pooling设计和压缩感知矩阵的构造以及相关问题的研究，就是具有生物学背景和信息科学背景的数学模型的研究。项目主要研究了以下内容：1.基于典型群作用下的几何空间构造了新的Pooling设计，并与已有设计进行比较，结果表明我们的构造具有更高的实验效率；2.基于有限域上的向量空间构造了压缩和恢复信号性能较好的压缩感知矩阵，并对矩阵的信号恢复效果进行了数值仿真，得到的较好的结果；3.构造了与信息科学相关的最优和渐近最优码本，并将其应用到压缩感知矩阵的构造问题上；4. 利用有限域上的向量空间构造了新的低密度奇偶校验码（LDPC码），并对其译码效果进行了分析。以上问题的研究，不仅丰富了典型群几何学的内容，也具有很高的实际应用价值，尤其是研究内容中的Pooling设计的构造问题，就是新冠肺炎疫情中核酸检测的分组检测方法的数学模型，这一数学模型既可以提高检测的速度，也可以检查和纠正检测中出现的错误。