三维线弹性问题自适应弱Galerkin有限元方法

The goal of this project is to study adaptive weak Galerkin finite element method for three dimensional linear elasticity problems. By comparison of a deal of literatures, we conclude that the weak Galerkin finite element method has a lots of good characteristics of the traditional finite element method and many advantages of the discontinuous finite element method, which make this method be considered as a powerful and effective way to solve three dimensional linear elasticity problems. In order to achieve the goal of this project, we have elaborated a detailed research program, and will carry it out in the following respects: (1) Designing two kinds of error estimators and adaptive weak Galerkin finite element algorithms based on conforming mesh or nonconforming mesh.(2)Studying the convergence of the corresponding algorithms. (3) Studying the optimal complexity of the algorithms by defining the oscillation and the nonlinear approximation class. (4) Designing algorithms and verifying these theoretical results through sorts of numerical experiments. The successful accomplishment of this project will yield a significant innovation to PDE theory, and also can contribute to research in fields of elasticity.

本项目旨在研究三维弹性问题自适应弱Galerkin有限元方法。通过对大量现有文献的调研，发现弱Galerkin有限元方法既继承了传统有限元方法的良好特点，又具有间断有限元方法的很多优点，因而采用自适应弱Galerkin有限元方法来求解三维弹性问题应当是非常有效的。为了实现本项目的研究目标，我们制定了详细的研究方案，拟从以下四个方面进行探讨:(1)针对协调和非协调的网格剖分，分别设计误差指示子及自适应弱Galerkin有限元算法;(2)研究所设计的算法的收敛性;(3)通过引入震荡项和非线性逼近类，研究所设计的算法的最优复杂性;(4)设计程序，通过数值实验测试理论结果的正确性。开展对本项目的研究将在偏微分方程相关理论中具有重要的创新意义，同时项目成果会对弹性力学领域的研究起到积极作用。

本项目主要研究线弹性问题自适应弱Galerkin有限元方法,针对两类弱Galerkin函数空间,分别建立弱离散格式(含稳定子和不含稳定子)和设计残量型后验误差指示子.针对含稳定子的离散格式,研究了残量型后验误差指示子是可靠的和有效的,数值结果验证了该结论,并表明所设计的自适应算法是收敛的和拟最优的;针对不含稳定子的离散格式,研究了自适应算法的收敛性,数值实验表明当标记r参数在(0.1,0.25)内取值时收敛效果比较好.这些研究成果,不仅将自适应弱Galerkin有限元方法进行了推广,也为求解线弹性问题提供一种新的科学计算方法. .同时项目负责人也研究了其他四类偏微分方程的数值方法.针对非线性不可压弹性问题,提出一种抽象的稳定化方法的理论框架;针对含变系数的三维时谐Maxwell方程,设计了自适应棱有限元算法,证明了该算法是收敛的;针对一类非线性抛物方程,采用后向欧拉格式对时间进行离散,并定义了一种新的混合投影,证明了相关的先验误差估计,同时给出了压力变量和速度变量的最优先验误差估计;针对一类半线性抛物型积分微分方程,采用混合有限元法给出了的离散格式,理论推导出相应的先验误差估计和一些超收敛性质.相应的数值实验验证了上述理论结果.这些研究成果,为偏微分方程数值解法领域提出一种有效的计算方法,具有较强的科学研究意义.