几类相对论动理学方程解的研究

The kinetic equation related to the relativistic Boltzmann equation is a base of the kinetic theory for the fast moving dilute gases. The research of its mathematical theory about these kinetic equations was a hot topic in the area of partial differential equations in recent years. Based on the previous works of all members of this research project, we plan to study the mathematical theory of the relativistic kinetic equations and the related macroscopic models, including the hdrodynamic limits of some complex kinetic equations, such as the rigorous justification of the Hilbert expansion of the relativistic Vlasov-Poisson-Landau system, and the global existence and stability of solutions to the Cauchy problem of the relativistic Euler equation derived from the relativistic Boltzmann equation with large bound variation value data, when the temperature of the gases are very high or the rest mass of particles is very small.. We plan to use some enery method developed in rencet several years to justify the Hilbert expansion of the relativistic Vlasov-Poisson-Landau system, and study the well-posedness of solutions to the Cauchy problem of the relativistic Euler equation based on the front tracking method.

以相对论Boltzmann方程为典型特例的动理学(kinetic)方程是研究高速运动稀薄气体的动理学理论的基石。关于这些动理学方程的数学理论的研究一直是近年来偏微分方程领域的一个研究热点。本项目拟在项目组成员前期研究工作的基础上，进一步研究这些相对论动理学方程以及相关的宏观模型的数学理论，主要包括一些复杂的相对论动理学(kinetic)方程的流体动力学极限问题，如相对论VPL方程组Hilbert展开的严格数学证明，以及当气体温度很高或者粒子静止质量很小时由相对论Boltzmann方程推导出的相对论Euler方程Cauchy问题具有大有界变差初值整体熵解的存在性和稳定性等。. 我们拟使用近几年发展起来的一些能量方法验证相对论VPL方程组的Hilbert展开，以波前追踪法为基础研究相对论Euler方程组Cauchy问题解的适定性。

以相对论Boltzmann方程为典型代表的动理学方程(kinetic equations)是研究高速运动稀薄气体的动理学理论的基石。关于这些动理学方程的数学理论的研究一直是近年来偏微分方程领域的一个研究热点。我们研究了动理学的Cucker-Smale-Fokker-Planck方程和可压缩流体耦合方程组二维Cauchy问题大初值经典解的整体存在性，相应于单原子稀薄气体和多原子气体的具有辛格能量的相对论欧拉方程非线性双曲波的性质及其黎曼问题解的存在性，具有辛格能量的相对论欧拉流体方程黎曼问题的牛顿极限和极端相对论极限，带惯量的Kuramoto-Sakaguchi方程在具有大的白噪声时扰动解的适定性和时间收敛率，严格证明了相对论Vlasov-Maxwell-Boltzman方程组的Hilbert展开。相应研究结果在 5 篇论文中给出，发表在Comm. Math. Phys.，Arch. Ration. Mech. Anal.，SIAM J. Math. Anal. 等期刊上。这些结果完善和发展了Cucker-Smale 型动理学方程及其相关方程经典解的适定和大时间行为的新理论和方法，刻画了相对论Boltzmann方程相关相对论Euler方程非线性波的性质，首次严格证明了具有磁场效应的Boltzmann型方程的Hilbert展开，具有重要的科学意义。