复解析簇的局部和整体问题研究

Try to solve the complex Plateau problem of Calabi-Yau type, and generalize it to the general case. Classify the strongly pseudoconvex CR manifold boundaries of the neighborhoods of higher dimensional quotient singularities. Confirm the general Durfee conjecture for low dimensional hypersurface singularities and the Kerner-Némethi conjecture for weighted homogeneous isolated complete intersection singularities. Give a complete solution to the Halperin conjecture, Wahl conjecture and Yau conjecture. Generalize Ahlfors' area-length ratio inequality for covering surfaces to higher dimensions and give the sharp optimal estimation of the constant h in that inequality. Study the fixed point indices, Dold indices and related problems for higher dimensional holomorphic mappings. Investigate the monodromy groups appearing in the decomposition theorem of perverse sheaves. Prove the hyperplane conjecture about the period integrals of Calabi-Yau hypersurfaces in a Gorenstein toric Fano variety.

解决Calabi-Yau型复Plateau问题，试图解决没有Calabi-Yau限制的任意型的复柏拉图问题。对于高维的商奇点邻域的拟凸CR流形边界进行分类。对低维超曲面奇点验证广义Durfee猜想和对加权齐次孤立完全交奇点证明Kerner－Némethi猜想。完全解决Halperin猜想、Wahl猜想、和Yau猜想。推广Ahlfors的等周不等式到高维并给出其中常数h的精确估计。研究高维复解析映射的不动点指标、Dold指标及其相关问题。研究在变异束的分解定理中出现的单值群的信息。证明关于Gorenstein环面Fano簇中卡拉比－丘超曲面的周期积分的Hyperplane猜想。

本项目基本完成了原计划的研究目标，并同时还出现了原计划之外的研究成果。我们在Calabi-Yau型复Plateau问题取得很大进展，解决了高维局部完全交情形。我们分类了3维有理加权齐次完全交奇点。解决了没有Calabi-Yau限制的复柏拉图问题，得到了一般维数的超曲面型复柏拉图问题的简单刻画。研究了有界对称域的全纯映射。主要有两个方面：一个是对有界对称域的逆紧映射的刚性的刻画。另一方面是分类有界对称域的逆紧映射。对低维超曲面奇点验证广义Durfee猜想。我们通过对负导子引入新的权系发展了一套方法，得到一系列性质定理，用这个方法解决了广义Halperin猜想、Wahl猜想。我们不需要完全交这个假设条件。但需要奇点的定义方程的加权次数满足一定下界条件。 在一些特殊情形我们改进了这个下界。由于这两个猜想在奇点重数低的时候有反例，所以我们的结果某种程度上说（只能对C加以改进情况下）是最优的。Brieskorn首次给出了半单李代数和奇点的联系，半单李代数已基本研究清楚，而人们对可解李代数了解少。所以建立奇点和可解李代数的联系非常重要。我们对奇点引入了2类系列可解李代数，找到了这样的联系。这个发现对高维可解李代数的分类毫无疑问会起到重要作用。我们推广Ahlfors的等周不等式到高维并给出其中常数h的精确估计。研究高维复解析映射的不动点指标、Dold指标及其相关问题。完成了在变异束的分解定理中出现的单值群的信息的研究。证明就射影空间证明了关于Gorenstein环面Fano簇中卡拉比-丘超曲面的周期积分的Hyperplane猜想。本项目执行期间共发表了49篇论文，其中大部分论文发表在J. Diff. Geom(4)、Duke J. Math.、Trans. AMS.、Annli Math Pure Appli、Ergodic Theory Dynam Systems、Math.Z.(4)、CAG(3)、MRL(2)、Alge Reprent Theo、Geo Dedicata(2)、J.Alebra(3)、 J. Number Theory、 Asian J.Math.(5)、等国际知名杂志。