符号数值混合计算中基于问题结构的算法和数值分析研究

This project follows the applications of symbolic-numerical hybrid computations in engineering, studies numerical polynomial-related problems based on structures of problems and by means of advanced optimization methods and numerical computation methods. It consists of the following four parts: 1) the application of sparse optimization theories to solve symbolic-numerical hybrid computation problems, with a special interest in the application of the matrix nuclear norm minimization and the L1-norm sparse optimization to solve the approximate greatest common divisor problems; 2) the valid implementation of the symbolic-numerical hybrid elimination method for multivariate polynomial systems; 3) to ?nd the nearest multivariate polynomial system to a given one which has roots with prescribed multiplicity structure; 4) to establish theories for condition numbers which are suitable for computing for several kinds of generalized total least squares problems.

本项目紧扣符号数值混合计算在工程中的应用，从问题的结构出发，基于前沿的优化方法和数值计算方法研究近似多项式相关问题。拟研究的内容为： 1）稀疏优化在符号数值混合计算中的应用，着重研究矩阵核范数极小化和L1-范数稀疏优化方法在近似最大公因子问题中的应用； 2）多元多项式系统符号数值混合消元方法的高效实现问题； 3）计算具有给定根重数结构的距离最近的多元多项式系统问题； 4）几类广义的总体最小二乘问题的可计算型条件数理论。

本项目紧扣符号数值混合计算在工程中的应用，从问题的结构出发，研究了数值多项式相关问题。把稀疏优化应用于符号数值混合计算，对一元多项式稀疏近似最大公因子问题，建立了基于L1-范数稀疏优化的两个算法，一个是基于余因子的稀疏优化算法，也是基于Sylvester 子结式矩阵右零空间的一种算法，另一个是基于Sylvester 子结式矩阵左零空间的稀疏优化算法，并用数值实验表明了所给算法的有效性；研究了多元多项式稀疏最大公因子的计算问题，通过多元多项式稀疏插值给出了两个算法，分别基于Zippel的概率算法和BenOr/Tiwari的确定性算法,并用丰富的数值算例表明，与著名的Maple中的最大公因子算法相比，所给的算法对于稀疏最大公因子的计算问题会效率更高；研究了广义最小二乘问题的条件数,总结了矩阵Kronecker积在依范数条件数中的作用和处理方法，作为应用, 对SIMAX杂志所刊登的关于最小二乘问题部分条件数的文献中的一个重要定理给出了新的更简短的证明.