基于符号-数值混合计算的误差可控算法及应用

数值计算具有速度快、适用范围广的特点，但是一般不能保证结果的整体正确性，符号计算可以对一大类问题提供完整与准确的解答，但是大部分已知的符号计算方法复杂度很高。符号-数值混合计算试图结合这两种算法，针对一大类问题，发展速度快并且可以给出满足这类问题完整求解所必需精度的可验证或误差可控算法。本项目将针对科学计算中的基本问题：大规模矩阵向量运算，具有应用背景的线性方程组求解， 基本的代数运算（例如：因式分解、 最大公因子等）， 非线性代数、微分、差分方程组求解,发展误差可控的符号-数值混合算法与无误差的符号算法，并应用这些算法研究惯性约束聚变大规模数值模拟中的误差控制等重要应用问题。

数值计算具有速度快、适用范围广的特点，但是一般不能保证结果的整体正确性，符号计算可以对一大类问题提供完整与准确的解答，但是大部分已知的符号计算方法复杂度很高。符号-数值混合计算试图结合这两种算法，针对一大类问题，发展速度快并且可以给出满足这类问题完整求解所必需精度的可验证或误差可控算法。项目组在可信算法的理论研究和算法实现中取得了重要的成果，在高档数控系统核心模块设计、惯性约束聚变大规模数值模拟研究中取得了实质性的应用，促进了可信软件的理论和实际相结合的研究，部分解决重大研究计划的核心科学问题之一：误差可控的计算。.提出了计算误差可控、快速衰减的求解系数矩阵为单调矩阵或对称正定矩阵的线性方程组的新型计算方法。给出高精度的Krylov子空间迭代方法，提出高效高精度的预处理技术以控制误差传播。 将牛顿迭代推广到奇异代数系统的求解，证明了新算法的二次收敛性。解决了验证微小扰动多项式方程组在机器精度范围内是否有孤立重根的难题，开发了（半）代数系统根的近似求解、精化和验证的可信计算软件包。 针对在发展高端数控系统中遇到的多种重要约束，设计了快速的时间最优的插补算法，提出了给定路径情形的跟踪误差有界控制高效算法。 .提出了由数值与近似计算恢复精确解的可信计算，并应用于代数数极小多项式重构和因式分解等，提高了可信计算的效率。 给出了平面（空间）有理曲线的奇异点树的展开算法, 建立了圆纹面的mu基理论。 建立了微分与差分Chow形式与稀疏结式的新理论，提高了微分消去法的效率，给出了一类由多项式系数的线性微分和差分方程组定义的数学对象加法的快速算法，提出了以约化为基本操作的Creative Telescoping方法。 .针对Z箍缩驱动惯性约束聚变(ICF)数值模拟中遇到难点问题，构造了适应网格变形的高精度有限体积格式，开展了相应的区域分解算法和界面算法的适定性、稳定性、误差收敛估计等方面的研究。在JCOGIN框架上完成了组合几何区域分解并行算法，并与粒子并行结合实现两级并行计算，完成了非规则数据通信算法研究，确保分解的组合几何区域之间粒子通信正确、高效。