非牛顿流磁流体动力学方程的数值方法研究

磁流体动力学是研究在磁场作用下导电流体与磁场间相互作用的学科.本项目研究的非牛顿流磁流体动力学方程由具有非线性粘性项的Navier-Stokes方程与Maxwell方程耦合构成,其中非线性粘性项是关于流场速度梯度模的幂形式.目标是通过利用向量变换公式及引入Lagrange乘子的技巧,得到非牛顿流磁流体动力学方程的等价方程,并研究等价方程在Sobolev空间中解的适定性与有限元逼近，并给出误差估计.最后应用算子分裂的技巧给出一个求解等价方程的稳定的迭代格式,并给出该迭代格式的收敛性及数值模拟结果.

从磁流体动力学方程组的数学形式来看它是典型的非线性传导扩散方程组，并且磁场强度和流动速度都满足无散度限制，这导致其变分问题是典型的鞍点问题，从而数值求解时如何处理好非线性和无散度限制将是问题求解得主要难点，它的高效、稳定、快速求解极其重要。为此课题组提出以下三种求解方法：（1）,基于局部Gauss积分稳定化的非协调有限元方法求解Navier-Stokes方程组. (2)，基于局部Gauss积分的二次等阶有限元方法求解非线性传导扩散方程组及其两重网格实现. (3), 对一类特殊的传导扩散方程采用局部间断Galerkin有限元方法给出了求解理论. 通过采用稳定化方法，可以将磁流体动力学方程组的变分问题转化为椭圆问题，从而避免了鞍点问题的. 另外稳定化求解时可以采用低阶元素进行求解，这就可以大大降低问题的求解规模.