带有位势项的薛定谔方程组解的整体性质研究

Nonlinear Schrodinger system is one of the most important and fundamental partial.differential equations appearing in Quantum Physics. It has many applications in nonlinear optics, superconductivity, electromagnetics and Hartee-Fock theory.We propose to study the global properties for solutions of Schrodinger systems with potential terms. We propose to study the symmetry and nonexistence results for stationary solutions, study the existence and uniqueness for the ground states and study the blow-up thresholds of the Cauchy problem.

非线性薛定谔方程组是量子物理的重要的基本方程，在非线性光学、超导、电磁学、Hartee-Fock理论等中具有广泛应用。本项目拟研究带有位势项薛定谔方程组解的整体性质。主要内容包括：带有位势项薛定谔方程组稳态解的对称性和非存在性；带有位势项薛定谔方程组基态解的存在性和唯一性；带有位势项薛定谔方程组Cauchy问题整体解与爆破解的门槛分界刻画。

本项目按照计划利用移动平面方法、变分方法、位势井技术等方法研究了带有位势项的薛定谔方程组解的整体性质，完成了研究目标。取得了以下研究成果：. (1) 在薛定谔方程稳态解的对称性和非存在性方面， 项目组首先研究了一类半空间上的薛定谔方程组Neumann边值问题，得到了该类方程组的稳态正解对称的非线性项条件。其次，研究了一类带有奇异位势项的薛定谔方程，得到了该类方程解不存在的条件。最后，研究了一类完全非线性椭圆型方程组，得到了该类方程组解具有空间对称性的充分条件。. (2) 在薛定谔方程组的基态解的性质方面，项目组研究了带有一般位势项的薛定谔方程组，得到了该类方程组基态解存在的位势项和非线性项条件。. (3) 在薛定谔方程组Cauchy问题整体解与爆破解的门槛分界刻画方面，项目组首先研究了带有调和位势项和卷积型非局部非线性项的薛定谔方程组，对于两种不同的耦合方式的方程组，分别得到了相应的解的稳定规则、不稳定规则；通过发展不变集理论和位势井方法，得到了两类耦合方式下的整体解与爆破解的门槛分界结果。其次，采用上述研究方法项目组还研究了两类非局部抛物型方程的初值问题，获得了爆破分界结果。