欧氏几何中平面曲线流方程解的定性研究

Invariant geometric flows have important applications in the fields of image processing、computer vision and crystal growth and are associated with integrable systems. The mathematical models describing the invariant geometric flows are nonlinear partial differential equations. We first study the wellposedness、convexity and asymptotic behaviour of the solutions to the fourth-order or sixth-order parabolic equations describing the planar curve flows in Euclidean geometry and analyze the evolution of the curves under the flow considered. In addition, we study an integrable modified Camassa-Holm equation, which arises from an intrinsic invariant planar curve flow in Euclidean geometry and admits (periodic) peakons and multi-peakons. We will explore the issue of stability of the multi-peakons to this equation.

不变几何流在图像处理、计算机视觉和晶体增长等应用学科中有着非常重要的应用而且和非线性可积系统有着密切的联系。描述不变几何流的数学模型是非线性偏微分方程。本项目首先考虑描述欧氏几何中平面曲线流的四阶或六阶抛物型偏微分方程，研究其解的正则性、凸性和长时间行为，并且分析对应的曲线流的运动规律。其次，考虑修正的 Camassa-Holm方程，该方程自然地来源于欧氏几何中内禀的平面曲线流而且是可积的，具有（周期的）尖峰孤立波解和多重尖峰孤立波解。本项目将研究该方程多重尖峰孤立波解的稳定性问题。

本项目主要考虑一类具有三阶非线性项的修正的Camassa-Holm方程。此方程作为修正的KdV方程的对偶方程，是可积的，而且具有尖峰孤立子解和多重尖峰孤立子解。本项目主要研究多重尖峰孤立子解的轨道稳定性问题。利用能量估计方法，结合单个尖峰孤立子解稳定性分析的技巧和局部能量泛函的单调性质，我们建立了多个充分分离的尖峰孤立子线性叠加这一特殊波形在能量空间中的轨道稳定性。