几何与图像计算中的变分方法与算法

In recent years, variational methods have been playing more and more important roles in geometry and image computing. They have been successfully applied to various geometry computing and image processing problems. In this project, we will use variational methods to investigate on both mesh surface processing and planar image processing. Starting from piecewise constant function spaces on mesh surfaces, we will design various variational models and efficient algorithms, and then apply these models and algorithms to mesh surface denoising. Besides, we will consider mesh segmentation problem where a given mesh is to be partitioned as several parts containing faces instead of mesh vertices. Variational segmentation models and efficient algorithms will be designed for both surface-type segmentation and part-type segmentation. In addition, we will construct variational models and efficient algorithms for denoising images generated by transmission imaging. The problems involved in this project are of great importance in geometry computing and image processing, which shall contribute more efficient algorithms for geometry modelling and image processing and thus open a broader space in industry applications. The applicants have solid background in variational methods and algorithms for geometry and image computing and are expected to achieve great progress in this area.

近年来，变分方法在几何与图像计算中发挥了越来越重要的作用，被成功应用于各种几何计算与图像处理问题中。在本项目中，我们将利用变分方法，同时开展网格曲面处理以及平面图像处理方面的研究工作。我们将通过网格曲面上的分片常值函数空间，设计各种变分模型与快速算法，并运用到网格曲面的去噪处理问题；我们将考虑网格曲面的基于面（即网格面元）而不是网格顶点的分割问题，针对surface-type分割与part-type分割分别设计变分模型与快速算法；我们将系统地研究透射式成像时的图像去噪问题，包括变分模型的建立与有效数值算法的设计。这些问题是计算几何及图像处理中的重要问题。它们的解决将为几何建模与图像处理提供更有效的算法与更广阔的工业应用前景。项目申请人在几何与图像计算中的变分方法与算法方面有很好的基础，有望在所提出的问题上取得实质性的进展。

在当前大数据时代背景下，几何和图像数据的处理逐渐形成一个流行的研究领域。近年来，变分方法和算法在这一领域起到了重要作用。本课题基于这一背景，利用变分方和优化算法，主要研究了下列内容：.（1） 网格曲面数据处理，包括曲面去噪，分割，与测地曲率流的计算模拟；.（2）医学图像和数字图像的性质分析和处理，包括CT成像中图像的数学性质的分析和验证，MRI图像的分析和处理，与数字图像的去噪处理。..本课题取得了如下一些研究结果：.（1）网格曲面数据处理方面：通过构建分片常数函数空间，提出了基于总变差的网格曲面去噪的变分模型和优化算法；提出了基于Mumford-Shah模型的网格曲面分割方法；研究了网格曲面上测地曲率流的一种新算法。.（2）医学图像和数字图像的性质分析和处理方面：给出了CT成像中图像的连续性刻画和验证；提出了一种新的MRI图像的分解模型和算法；对分片常数的数字图像提出了一种新的去噪算法。..这些成果有如下的科学意义：.（1）所提出的几个网格曲面数据处理模型和算法在效果和效率上都比以往方法有较大优势，有望用于三维数字几何处理相关的实际工业问题。.（2）为CT图像的连续性提供严格的数学刻画和验证，有助于未来设计具有针对性的模型和算法；为MRI图像的偏移场校正提供方案，有望用于医学影像领域；为分片常数数字图像比如二维码提供性能优异的去噪算法，其去噪结果比当前最好的算法要高约7dB。