基于随机偏微分方程的高维非线性滤波问题快速高精度数值求解方法

Nonlinear filtering problems have applications in vastly diverse research areas including biology, mathematical finance, signal processing, image processing, and target tracking. With the rapid development of science and technology, nonlinear filtering problems dimensions increased. However，the existing nonlinear filtering methods can not meet the requirements of high-dimensional nonlinear filtering problems. Thus, we need to develop efficient algorithms for high-dimensional nonlinear filtering problems. In this project, we consider construct novel fast high accurate algorithms for solving high-dimensional nonlinear filtering problems, by focusing on approximating the conditional probability density function of the optimal filter, which is obtained through the numerical solutions of stochastic partial differential equations or forward backward stochastic differential equations. We will produce high-quality research results, and publish 8-9 high-quality academic articles in four years.

非线性滤波问题在多个研究领域有着广泛的应用，包括生物医药、金融数学、医学成像和目标追踪等。随着科学技术的飞速发展，非线性滤波问题的维数越来越高。而现有的非线性滤波算法并不能满足高维问题的需要。因此，我们亟需能有效处理高维非线性滤波问题的算法。本项目拟通过建立求解与高维非线性滤波问题对应的随机偏微分方程和正倒向随机微分方程的快速高阶算法，以获取最优滤波器的条件概率密度函数，并最终建立求解高维非线性滤波问题的快速高精度数值方法。预计本项目将在四年内产生高质量的研究成果，发表一流的学术论文8—9 篇。

本项目计划对基于随机偏微分方程的高维非线性滤波问题快速高精度数值求解方法及其应用展开研究。在项目执行期内，建立了求解随机偏微分方程的快速高精度数值算法。为构建该算法，项目组建立了一种各向异性稀疏网格上的正交多项式稀疏逼近格式，并发展了相应的基于正交多项式的多元函数插值算法，以及相应的多元函数数值积分策略。在算法的工程应用方面，项目组将前期在随机偏微分方程求解、高维高精度数值积分公式方面取得的成果运用于医学影像领域的低剂量单光子正电子成像技术（SPECT）中，建立刻画低剂量 SPECT成像的基于随机Poisson过程的连续模型与相应的最优化模型，构造了低剂量 SPECT成像算法。.在项目执行期内，项目组共计发表和接受发表论文5篇，授权专利1项，申请专利1项。项目组成员多次参加国内外学术会议，介绍研究成果。