Hall代数，曲面的DT不变量与丛倾斜代数

This proposal is about the intersection of representation theory of algebras, algebraic geometry and mathematical physics. It concerns derived equivalences between associative algebras and algebraic varieties, Hall algebras, cluster-tilted algebras and 3-Calabi-Yau algebras arising from brane tilings respectively. More precisely, (1) Use the category of 2-periodic complexes to construct the semi-derived Hall algebra of the weighted projective line and study the relations between this algebra and the double Hall algebra of the weighted projective line, the semi-derived Hall algebra and Bridgeland-Hall algebra of the corresponding canonical algebra; (2) Calculus the non-commutative Donaldson-Thomas (DT) invariants for the tilting 3-Calabi-Yau algebras of the weak Fano toric surfaces, and then get the wall-crossing formulas for the DT invariants under the Seiberg dualities, cluster mutations and mirror symmetry; (3) Prove that the stable categories of Cohen-Macaulay modules over the cluster-tilted algebras of Dynkin type and also the related gluing algebras can be realized by the stable categories of some self-injective algebras.

本项目是代数表示论，代数几何，数学物理的交叉课题。我们主要研究代数与代数簇的导出等价，Hall 代数，丛倾斜代数，brane tiling 得到的 3-Calabi-Yau 代数等方面的问题。具体如下：（1）利用 2-周期复形范畴构造加权射影线上的半导出 Hall 代数，以及它与其它重要的 Hall 代数类，如加权射影线的 double Hall 代数，canonical 代数的半导出 Hall 代数以及 Bridgeland-Hall 代数的关系；（2）研究 weak Fano toric 曲面的倾斜 3-Calabi-Yau 代数的非交换 DT 不变量在 Seiberg 对偶，丛变换以及镜像对称下的关系；（3）证明有限型丛倾斜代数以及相关的粘合代数的 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴可以实现为自入射代数的稳定范畴。

本项目是代数表示论，代数几何，数学物理的交叉课题。我们主要研究Hall 代数，量子群，丛倾斜代数，Gorenstein代数，奇点范畴，Auslander代数，倾斜对象，quiver代数簇奇点消解等多方面的问题。所得结果如下：.（1）Hall代数与量子群方面，利用 2-周期复形范畴构造了遗传范畴上的Hall代数，称为Modified Ringel-Hall代数，证明了该代数存在PBW-基，并且与double Hall代数同构。对于存在倾斜对象的遗传范畴（包括有限维遗传代数和加权射影线上的凝聚层范畴），我们证明了Modifield Ringel-Hall代数的导出不变性。特别是对加权射影线上的凝聚层范畴，Modifield Ringel-Hall代数与 double Hall 代数，canonical代数的半导出 Hall代数以及Bridgeland-Hall代数同构；.（2）在奇点范畴方面，我们利用自入射代数的稳定范畴刻画了有限型丛倾斜代数以及某类特殊的2-CY-倾斜代数的奇点范畴。并对（skewed-）gentle代数，上三角矩阵代数，简单粘合代数，张量代数的奇点范畴，Cohen-Macaulay Auslander 代数进行了刻画。证明了1-Gorenstein分次代数的分次奇点范畴存在silting对象，由此刻画了monomial代数的（分次）奇点范畴。此外我们证明了有限维代数在局部环上表示的分次奇点范畴存在倾斜对象，并且其自同态代数与该代数的上三角矩阵代数同构。.（3）在quiver代数簇方面，我们主要对1-Gorenstein gentle代数（包括A型丛倾斜代数，从曲面构造的2-CY-倾斜代数等）上的quiver Grassmannian利用Cohen-Macaulay Auslander代数的quiver Grassmannian进行了奇点消解。