关于随机非线性算子若干问题的研究

In this project, we will mainly study the following problems in three aspects. First of all, we will calculate the random fixed point index in various situations and extend such theory. We will deeply study diverse generalizations of random operators, and turn some problems in random differential equations (especially random fractional differential equations) and random integral equations to the problems for random nonlinear operators, then solve those concrete problems by studying random nonlinear operators. Also, we will prove the existence theorems of random fixed points for random set-valued decreasing operators by partial ordering method. Secondly, we will further study random topological degree and random fixed point index theory, and extend a series of many famous theorems, such as Krasnoselskii's theorem and Leggett-Williams theorem. By these new generalized theorems in random nonlinear functional analysis, we will obtain multiple random solutions of random nonlinear operator equations. Thirdly, We will continue to study some new problems in the Z-C-X space established by the applicant of this project previously. On the other hand, we will establish some other new spaces, and study the problems for random nonlinear operators in such new spaces. Moreover, we will apply the theory of random functional analysis to multiattribute decision making in random optimization, and propose the generalized rank preference precedence ordering method to solve some practical problems.

本项目首先，计算多种情形的随机不动点指数并拓广其理论。深入研究随机算子的各种推广，把一些随机微分方程（特别是随机分数阶微分方程）、随机积分方程等问题转化成随机非线性算子问题，通过研究随机非线性算子解决具体的问题。用半序方法证明随机集值减算子的随机不动点的存在性定理。 第二，进一步研究随机拓扑度和随机不动点指数理论，全面推广一系列著名定理。比如推广Krasnoselskii定理和Leggett-Williams定理。通过推广的随机非线性泛函分析的定理对随机非线性算子方程进行求多个随机解。 第三，在项目申请人创立的Z-C-X空间继续研究新的问题。建立新的空间，在新的空间中研究随机非线性算子问题。把随机泛函分析的理论应用于随机优化中的多属性决策，提出广义等级偏好优序法。从而解决实际中的问题。

众所周知，自然界发生的事件充满着随机性，并且许多科学难题属于随机非线性分析范畴。四年来，本项目主要研究随机非线性分析问题，首先深入研究随机非线性算子的各种推广，把一些随机微分方程、随机积分方程等问题转化成随机非线性算子问题，通过研究随机非线性算子解决具体的问题。第二，计算了多种情形的随机不动点指数，探究了非线性分数阶脉冲随机微分系统的近似可控性，通过分数阶微积分、随机分析及一些随机控制理论技巧，得到了分数阶脉冲随机微分系统近似可控性的充分条件。全面推广一系列著名定理，比如推广Krasnoselskii定理和Leggett-Williams定理。通过推广的随机非线性泛函分析的定理对随机非线性算子方程进行求多个随机解。第三，在广义的半序模糊度量空间中拓展了重合点和公共不动点的概念。我们在广义的半序模糊度量空间中得到了重合点以及公共不动点定理。第四，我们建立了更一般形式的随机集值映射的不动点定理，并且证明了随机集值映射在随机弱相容的条件下的随机不动点及其唯一性。用半序方法证明了随机集值减算子的随机不动点的存在性定理。第五，在完备可分的半序度量空间中，在随机混合单调算子满足弱压缩条件下，证明了一些随机耦合点和随机不动点定理。最后，在项目申请人创立的Z-C-X空间研究新的问题。把随机非线性分析的理论应用于信息科学和优化中的多属性决策，提出广义等级优序法，解决综合偏好排序和医院重症病人最优治疗方案的决策等等实际问题。同时，我们还研究了概率度量空间的若干非线性问题。发表了80多篇学术论文，其中被SCI收录了45篇，获得了许多很有意义的理论和应用成果，拓广了随机非线性分析领域。