关于概率分析中非线性算子问题的研究

This project establish some new inequalities by using some properties of M-PN spaces firstly. It also study the existence of solution in semi-closed 1-set contraction operator equation and operator equation and operator equation system..Secondly, we give out some notions of probabilistic net metric, probabilistic pseudo metric, Menger probabilistic G-metric and so on. We discuss some nonlinear problems in some new spaces. And we study deeply the uniqueness and existence of three-dimensional and four-dimensional coincidence points on some operators. .Thirdly, we further study topological degree, iterative degree, and calculation of the fixed point index. We further generalize a series of famous theorems in nonlinear analysis such as Leray-Schauder theorem, Rothe theorem, Petryshyn theorem and Altman theorem..Fourthly, we study the random solutions of random differential equations, random integral equations, random functional equations using random topology degree, random fixed point index, random multi-storage degree, random analysis and so on..Finally, we apply our results in some actually problem such as sparse optimization, Vector equilibrium, the comprehensive ranking, a variety of cancer patients treatment decisions and so on.

本项目首先利用M-PN空间中的拓扑度性质,建立一些新的不等式,从而研究半闭1-集压缩算子方程以及算子方程组解的存在性等问题。.第二,提出概率网度量、概率类度量、Menger概率G-度量等新概念,引入新的空间,在新的空间中讨论若干非线性问题。同时,深入研究几种算子的三元重合点或四元重合点的存在唯一性问题。.第三,进一步研究非线性算子的拓扑度、迭合度和不动点指数的计算,重点推广一系列非线性分析中的著名定理,比如:进一步推广Leray-Schauder定理,Rothe定理,Petryshyn定理和Altman定理。.第四,我们利用随机拓扑度、随机不动点指数、随机多重度、随机分析等方法研究随机微分方程、随机积分方程、随机泛函方程的随机解或随机多解。.最后,把我们建立和创新的理论应用于解决稀疏优化、向量均衡、综合排序、癌症病人的多种治疗方案决策等等具体问题。

概率分析是现代数学的一个重要的新分支。自然界很多意义重大的科学和工程等问题都可归结为概率分析中的非线性算子问题。本项目在四年时间里，第一，研究利用M-PN空间中的拓扑度性质,建立一些新的不等式,从而研究半闭1-集压缩算子方程以及算子方程组解的存在性问题。提出了Menger PM-空间中R-压缩和循环R-压缩的概念，建立了重要的新定理。第二,提出概率网度量、概率类度量、Menger概率G-度量等概念,引入新的空间,在新的空间中讨论若干非线性问题。同时,深入研究几种算子的三元重合点或四元重合点的存在唯一性问题。第三，利用三个控制函数给出了半序Menger PM-空间中满足特定条件的广义弱压缩映射的最佳逼近点定理，并给出了最佳逼近点唯一的充分条件。第四，进一步研究非线性算子的拓扑度、迭合度和不动点指数的计算,重点推广一系列非线性分析中的著名定理,比如:进一步推广Rothe定理,Petryshyn定理和Altman定理。第五，引入一个关于[0，1]模糊图的概念,并且给出了图中关于G-压缩和G-非扩张映射的一些迭代结果。同时，利用模糊图的性质获得了算子方程的一种新解法。第六、在模空间中由模拟函数和交换距离函数得到了新的不动点定理，而且给出了在积分方程中的应用。同时，我们还得到了一个有效的迭代算法来求解由算子构成的凸函数的尺度邻近算子。这种方法在图像复原和图像重建问题中有着广泛的应用。第七、研究了一类带一般卷积非线性项的磁场拉普拉斯非线性肖卡尔方程的基态解。还研究了一类带一般卷积非线性项且无增长条件的基尔霍夫方程的非平凡解的存在性。最后，我们利用随机拓扑度等方法研究随机微分方程、随机积分方程的随机解或随机多解。把我们建立和创新的理论应用于解决具体问题。上述研究成果在概率分析和非线性分析中都具有很大的科学意义和广阔的应用前景。本项目发表了43篇学术论文，其中被SCI收录了38篇，获得了很多重要成果。