快速谱方法及其应用

The main purpose of this project is to construct innovative spectral methods for a class of challenging problems, such as high-dimensional PDEs, acoustic and electromagnetic scattering with moderate to high frequencies and PDEs with fractional derivatives, and apply them to some emerging applications in fluid dynamics and materials science. In terms of algorithm design and analysis, we plan to (1) Develop new adaptive spectral/spectral-element methods for solving a class of high-dimensional PDEs; (2) Develop robust, efficient spectral/spectral-element methods for acoustic and electromagnetic scattering with moderate to high wave numbers; (3) Develop fast spectral methods for solving a class of elliptic PDEs with fractional derivatives; (4) Use high-order and energy stable schemes to study multi-phase complex fluids.

本项目的主要目的是构造新颖的快速谱方法来求解一类具有高度挑战性的问题，包括高维偏微分方程，分数阶方程，声波和电磁波散射等，并将其应用到模拟流体力学和材料力学中的多相复杂流体问题。具体内容包括： （1）构造求解高维偏微分方程的高阶、可行的自适应谱方法； （2）对具有中、高波数的声波和电磁波散射问题，构造稳健、有效的谱方法； （3）对一类椭圆型的分数阶偏微分方程，构造快速谱方法并给出其误差分析； （4）利用高阶及能量稳定的数值方法来模拟一些多相复杂流体问题。

本项目的主要目的是构造新颖的快速谱方法来求解一类具有高度挑战性的问 题，包括高维偏微分方程，分数阶方程，声波和电磁波散射等，并将其应用到模拟流体力学 和材料力学中的多相复杂流体问题。具体内容包括: (1)构造求解高维偏微分方程的高阶、可行的自适应谱方法; (2)对具有中、高波数的声波和电磁波散射问题，构造稳健、有效的谱方法; (3)对一类椭圆型的分数阶偏微分方程，构造快速谱方法并给出其误差分析; (4)利用高阶及能量稳定的数值方法来模拟一些多相复杂流体问题。