线性积分方程的Galerkin快速谱方法

Galerkin谱方法是研究线性积分方程的基本数值方法之一。一般来讲，用Galerkin谱方法离散积分方程所得到的线性方程组的系数矩阵是稠密的，并且此方程组系数矩阵中的元素和右端向量中的元素都是以积分的形式存在。如果方程组的阶比较大，完全离散此方程组所需要的复杂度和求解此方程组所需要的复杂度则会相应的变大。基于此种事实，本项目首先提出一种矩阵压缩策略，从而可以用一稀疏阵代替原方程组的稠密阵。然后，设计一种有效的数值积分公式来完全离散此经过矩阵压缩后得到的方程组。此外，本项目还给出了一种求解上述方程组的方法。最后证明此完全离散的方程组既降低了求解复杂度又保持了原方程组具有的性质。

由于积分算子的非局部性，所以利用谱方法离散积分算子所得到的矩阵是半离散的稠密矩阵。针对这一事实，本项目首先提出一种矩阵截断策略，从而可以用一半离散的稀疏矩阵代替上述稠密矩阵。然后，设计出一种数值积分格式来离散经过压缩后的稀疏矩阵，我们证明了获得此完全离散的稀疏矩阵所需要的计算复杂度是拟线性的。最后利用上述方法求解若干经典的边界积分方程，得到了它们的快速谱方法。