图的拟Laplace能量和关联能量

The Laplacian spectrum and signless Laplacian spectrum are an important research field in the theory of spectra of graphs. The Laplacian-energy-like invariant (LEL) and incidence energy (IE) are two invariants based on the Laplacian spectrum and signless Laplacian spectrum of graphs, and they are hot research topic in the area of Algebraic Graph Theory. This project is concerning with these two invariants. In the project, we study the estimation problem for the LEL and IE of graphs. We characterize the relationship between signless Laplacian eigenvalues and some structural parameters of a graph. For some given graphs, we characterize extremal graphs for the LEL and IE by Laplacian coefficients and signless Laplacian coefficients, meanwhile we study the corelation between the LEL and IE of original graphs and those of new graphs obtained from the original graphs by some binary operators acting on them. The project will develop and enrich the study of the theory of spectra of graphs and chemical graph theory, and have both theoretical and practical values.

图的拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱是图谱理论研究的重要领域，图的拟拉普拉斯能量和关联能量是基于这两种谱的两个图不变量，是近年来代数图论领域中的热点研究课题。本项目围绕这两个图不变量，研究图的拟拉普拉斯能量和关联能量的估计问题；刻画无符号拉普拉斯特征值和图的一些结构参数之间的关系；对给定的图类，借助拉普拉斯系数和无符号拉普拉斯系数，分别刻画拟拉普拉斯能量和关联能量的极值图；研究某些图类经图的若干二元运算后所得新图与原图之间的拟拉普拉斯能量和关联能量的关联性。本项目的研究将发展和丰富图谱理论和化学图论的研究内容，不仅有重要的理论意义，且具有很好的应用背景。

图能量的概念由数学化学家Gutman在1978年提出,但对有机化学分子结构的能量的研究可追溯到上世纪30年代Huckel所建立的休克尔分子轨道理论.图的能量定义为其邻接矩阵所有特征值的绝对值之和.相比较图的邻接矩阵,由于图的拉普拉斯矩阵的定义中揉进了图中所有顶点的度,因而拉普拉斯特征值比邻接特征值更能反映图的结构性质.基于上述认识,Gutman等在2006年提出了拉普拉斯能量的概念.之后,在图能量和拉普拉斯能量的基础上,柳柏濂等引入了拟拉普拉斯能量这个新的拓扑指标.研究发现,与理论化学中使用的其它拓扑指标相比,图的拟拉普拉斯能量能够描述化合物的一些更难获得的物理化学性质,在数学上,由于有各种矩阵与图自然地联系在一起,如邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、关联矩阵,埃尔米特-邻接矩阵等,因此基于这些矩阵的特征值,人们引入了多种不同形式的类似于图能量的不变量,以期有不同实际的应用或仅限数学理论的研究.. 本项目围绕图的拟拉普拉斯能量和关联能量这两个问题展开研究,主要在一些给定的图类中建立了这两个拓扑指标的上、下界并刻画了可达界的极值图,刻画了一些特殊图类经图的若干一元或二元运算后所得新图的拟拉普拉斯能量和关联能量.同时,注意到拟拉普拉斯能量和其它一些拓扑指标尤其是基尔霍夫指标之间的密切联系,我们扩充了研究内容,借助矩阵张量积的性质、广义逆矩阵及图谱理论方法,用图的拉普拉斯谱和若干结构参数对剖分-点邻接冠、剖分-边邻接冠、Q-双联、Q-点冠、Q-边冠等一些图运算给出了电阻距离和基尔霍夫指标的计算公式.