边改变对图的能量影响和有向图的能量问题

图的能量是指图的邻接矩阵的特征值的绝对值之和，它是当前图谱理论研究中发展迅速的热门课题之一。本项目拟结合图论、图的谱理论和矩阵的数值特征理论对边的改变对图的能量影响和有向图的能量问题进行较为深入系统的研究。给出边的删除或增加使得图的能量增加、减少和不变的充分条件，特别利用边的改变使得图的能量不变的充分条件构造出一到两对等能量的非同谱图；给出有向图的能量和skew-能量的上下界的有效估计式，以及它们与其相应的底图的能量之间的关系。

图的能量是当前图谱理论研究中发展迅速的热门课题之一。本项目对有向图的能量的界估计、有向图的skew-能量和边改变对图的能量影响以及相关问题做了较为深入系统的研究，得到的结果如下：. （1）得到了有向图的能量的两个新上界并刻画了达到这些上界的临界图。理论分析表明这些结果改进和推广了部分已知的结果；. （2）利用有向图的运算，构造出了几类有向图，它们中的每一个都满足有向图的skew-能量等于其底图的能量。部分回答了Adiga等人在《Linear Algebra Appl.》上提出的一个公开问题；. （3）研究了边删除与一些特殊图的无符号Laplacian能量之间的关系。给出了边删除后图的无符号Laplacian能量不变的一个条件。证明了删除一条边后图的无符号Laplacian能量与原图的无符号Laplacian能量的差值不大于4；. （4）得到了删除一条边图的无符号Laplacian特征值的幂和增加和减少的条件；同时， 也给出了图的无符号Laplacian特征值的幂和估计式并刻画了达到这些界的临界图。利用所得结果给出了图的关联能量界估计式，理论分析和实例表明这些结果改进了部分已知的结果；. （5）给出了带有参数α的图的（Laplacian）谱半径的一些上下界估计式并刻画了达到这些界的临界图，理论上改进和推广了部分已知的结果。同时，也指出利用所得结果可以得到更好的图的能量和图的Laplacian特征值幂和估计式；. （6）由于图的能量与图的谱、矩阵的奇异值有着密切的联系。本项目也研究了冠图和边冠图的（无符号Laplacian）谱与其原图之间的关系，刻画了如何由原图的（无符号Laplacian）谱来计算出冠图和边冠图的（无符号Laplacian）谱。同时，也构造出了一些非同构的无符号Laplacian同谱图。