Boltzmann方程外区域问题的研究

The exterior problem is one of the most important issues in fluid mechanics and gas dynamics. In the macroscopic level, it has been attempted by many outstanding mathematicians with a lot of remarkable results. However, in the mesoscopic level, the mathematical theory is very limited. Based on the spectral analysis and perturbation theory of linear operators, K. Asano and S. Ukai proved the existence and uniqueness of the non-Maxwellian steady solutions of the exterior problem for the Boltzmann equation as well as its large time asymptotic stability. Later on, their results were improved by S. Ukai, T. Yang, H.-J. Zhao and myself by relaxing the boundary conditions so that more general cases can be included. Recently, the exterior problem for the Boltzmann has been attracted more and more attention although there are still many challenging open problems. For instance, the case that the gas flow is driven only by the temperature difference between the obstacle and the far-field and the case that the Boltzmann equation is under the non-cutoff assumption are unknown. In this research project we will consider these problems and hopefully we can obtain some more physical and general results which can be applied to other more complicated kinetic equations.

外区域问题是流体力学和空气动力学中最重要的问题之一。在宏观层面上，许多优秀的数学家已经对此问题进行了相当深入的研究并取得了很多重要的结果。然而，在介观层面上，相应的数学理论却非常有限。利用线性算子的谱分析和扰动理论，K.Asano和S.Ukai证明了Boltzmann方程的外区域问题存在唯一的非Maxwellian稳态解，并且给出此解的大时间渐近稳定性。随后，他们的结果被S.Ukai，杨彤，赵会江和本申请人推广到了更一般的边界条件。近年来，Boltzmann方程的外区域问题正逐渐成为本领域的研究热点，吸引了国内外许多学者的关注。然而，这方面仍有很多重要的问题有待解决。比如三维情形下气体仅由温度差驱动的外区域问题，无角截断假设时Boltzmann方程的外区域问题等。本项目将紧密围绕这些问题展开研究，预期成果将更接近物理实际并为研究其它更为复杂的动理学方程的外区域问题奠定基础。

外区域问题是流体力学和空气动力学中最重要的问题之一。在宏观层面上，许多优秀的数学家已经对此问题进行了相当深入的研究并取得了很多重要的结果。然而，在介观层面上，相应的数学理论却非常有限。利用线性算子的谱分析和扰动理论，K.Asano和S.Ukai证明了Boltzmann方程的外区域问题存在唯一的非Maxwellian稳态解，并且给出此解的大时间渐近稳定性。随后，他们的结果被S.Ukai，杨彤，赵会江和本申请人推广到了更一般的边界条件。近年来，Boltzmann方程的外区域问题正逐渐成为本领域的研究热点，吸引了国内外许多学者的关注。然而，这方面仍有很多重要的问题有待解决。. 我们从Ukai-Asano关于外区域问题的经典结果出发，得到了一些重要的进展。首先，对于稳态问题，我们在一类更大的函数空间中证明了解的存在性、唯一性和大时间渐近稳定性。其次，我们证明了当无穷远处宏观速度为零时外区域问题大时间温和解的存在性、唯一性以及收敛到平衡态的速率。最后，我们结合新的预解式估计将Limiting absorption principle推广到Sobolev空间的情形，证明了全空间和平环上带源项的稳态问题的解的存在性和唯一性。这些结果的前提条件是碰撞算子具有硬位势角截断假设。这些研究成果为进一步研究更加复杂的物理条件下的类似问题奠定了基础。. 对于流体力学方程组我们也取得一些有趣的研究成果。这方面研究成果的取得主要得益于本人早年的一些研究基础。我们研究这方面问题的原因是为后续研究Boltzmann方程和更复杂的动理学方程(组)的流体动力学极限提供基础。具体来说，对有界区域上具有Navier型边界条件的Navier-Stokes方程组，我们证明了一个全新的对数型正则性准则。对三维磁流体方程组，我们研究了一类具有部分傅里叶支撑的三维分数阶不可压缩磁流体方程组，证明了这类方程组在某些型情形下的大时间整体解的存在性和唯一性。值得一提的是，二维和三维理想不可压磁流体方程组整体光滑解的存在性和唯一性至今仍是一个极具挑战性的公开问题，因此我们的结果在一定程度上也可以丰富对原问题的理解。