次椭圆算子的分析与几何

In modern mathematics, subelliptic operators are important research areas, and they are extensively linked with other branches of mathematics. The objectives of this research project are to study the heat kernels of subelliptic operators on sub-Riemannian manifolds. This project consists of three parts. The first part is dedicated to Gaussian estimates and gradient estimates for the heat kernels of subelliptic operators based on their explicit formulae. Inequlities of Poincaré type and Log–Sobolev type will be considered in the second part. In the last part, we discuss Talagrand type inequalities associated to the heat kernel measures on sub-Riemannian manifolds. This research generalises the classical results on Riemannian manifolds to the sub-Riemannian setting, and leads our deep understanding to the structure of operators and equations on sub-Riemannian manifolds. The innovation of this research consists in (1) that the exact formulae of the heat kernels and related estimates are completely studied, (2) that Hamilton-Jacobi theory unifies each part of this research and (3) that the research methods and technical points cross many other branches of mathematics.

次椭圆算子是现代数学研究的重要领域, 并与其它数学分支建立了广泛的联系. 该项目的研究将围绕次黎曼流形上次椭圆算子的热核展开. 研究内容包括三部分: (1) 次椭圆算子热核的Gauss估计和梯度估计; (2) Poincaré型不等式和Log–Sobolev型不等式; (3) 热核测度的Talagrand型不等式. 该研究将使我们看到黎曼流形上经典的分析结果在次黎曼流形上的推广和刻画, 更深入地了解次黎曼流形上算子和方程的结构. 本项目的独到之处在于: (1) 次椭圆算子热核的精确表达式以及相关估计将完整地得到研究; (2)Hamilton-Jacobi理论统一各项研究内容; (3)研究方法和技术手段与多个学科分支交叉渗透.

本项目研究次椭圆算子热核的分析与几何性质, 研究对象涉及动能算子, 退化椭圆算子和幂零流形上的次Laplace算子, 研究内容包括次椭圆算子的变分系统, 次椭圆算子的热核结构以及次椭圆算子的几何不等式. 在变分系统的研究中, 我们考虑了带强非线性位势Schroedinger算子的周期解, 证明周期解的存在性并利用全局相位平衡方法对周期解作了快速的高精度逼近和估计. 热核结构的研究以带二次位势的Kolmogorov算子和Chandrasekhar算子是研究的主要对象. 我们精确刻画了Kolmogorov型算子的能量积分和热核分布, Chandrasekhar算子的能量分布以及热核分布的积分表示. 我们进一步得到了对偶的Chandrasekhar方程中参数的精确范围以及逼近解的收敛速度, 它们分别刻画了原Chandrasekhar算子的正则性以及作用函数在无穷远处的振荡行为. 在几何不等式方面, 我们分别研究了二步幂零李群和一般Carnot群上次Laplace算子的测地线几何, 能量分布以及输运方程的变分解, 刻画了幂零流形上的Poincare型不等式, Log-Sobolev型不等式, 热核测度的Talagrand型不等式以及它们之间的等价性. 该项目全面深入地探索了次椭圆算子的奇异测地线行为, 热核分布的结构以及幂零流形的分析与几何特征, 突破了变分理论在次椭圆算子研究方面的原有范围, 应用遍及调和分析, 动力系统和复几何等多个领域, 它的研究将为建立整体次黎曼几何的新框架提供丰富的实例和坚实的基础.