关于一类次椭圆算子的研究

In this proposed project, we concentrate on a class of sub-elliptic operators, which could be regarded as a family of degenerate elliptic operators. The sub-elliptic operators considered here come from one of the major problems in the theory of several complex variables, namely the complex Neumann problem. Our objective is to derive explicit formulas for the fundamental solutions and the heat kernels of the sub-elliptic operators under consideration. We shall also study the properties of these fundamental solutions and heat kernels, which include their sharp bounds and the short-time asymptotic expansions of the heat kernels. These results will be beneficial for solving the related complex Neumann problem on a typical pseudo-convex domain and shed some light on the general theory of the complex Neumann problem.

在本研究计划中我们将考虑一类次椭圆算子，该类算子可以看为具有强退化性质的椭圆算子。我们所研究的这类算子来源于多复变理论中的一个中心课题，即拟凸域上的复Neumann边值问题。我们的研究目标是得到该类次椭圆算子的基本解与热核的表达式并研究它们的基本性质。这些性质包括基本解与热核的精确估计以及热核在短时间尺度下的渐近展开。这些结果将有助于解决一类典型拟凸域上的复Neumann边值问题，从而为这一问题的一般理论提供新的研究思路。

在本项目中，我们研究了一类次椭圆算子的基本解与估计问题。次椭圆算子可以理解为一类具有强退化性的椭圆算子，因为退化的性质，该类算子的解会失去一部分正则性，因而它们不满足一般的椭圆型算子的估计。但另一方面，它们会满足某种次椭圆估计。次椭圆算子广泛出现于量子物理、随机过程、几何控制问题、多复变、李群理论等中，近年来该类算子又作为模型被应用于图像处理、神经生物学等领域。我们主要研究了一类多复变理论中的边值问题所导出的一类典型次椭圆算子，构造了这类算子的基本解和热核，并得到了热核的短时间渐近逼近问题。我们的结果为多复变中的伪凸域这一中心问题提供了一个重要实例，为一般的伪凸域问题提供新的解决思路。另一方面，我们把热核的渐近展开式及其精确估计与几何性质联系起来。这也为次椭圆算子的指标理论提供一个新的实例。